Grigoriy написал(а):Вы, Григорий, слишком категоричны Я понимаю Вашу точку зрения.
Я сам вообще придавал теореме Геделя еще более универсальный смысл

Но, здесь тонкий момент.
Вы объявляете теорию действительных чисел полностью включающей теорию натуральных.
Но можете ли Вы сказать, что некая теорема, справедливая для натуральных чисел, будет справедлива для чисел действительных?
Разумеется, нет. Вот теорема Ферма, например...
Также Вы наверно не сможете сказать, что некое утверждение, справедливое для чисел натуральных ( как пример Матиясевича выше) будет справедлив, если речь идет о всем множестве действительных чисел.

Вот эти тонкости я пока не понимаю, и это может быть бессмысленно, но так же бессмысленно с Вашей стороны не предоставить формального рассуждения.

Более подробно.
1. Повторяю - и вы, и тот деятель - рассуждаете о предметах, о которых не то что не имеете никакого понятия, а имеете понятия совершенно превратные. Т е видно, что вы все вопросом просто никогда и не интересовались - и потому основная загадка - имеющая отношение к науке, но не к математикe или философии, а психологии(кстати, как и моя реакция - ведь какое моё то дело?) - с чего вы об этом так заинтересованно рассуждаете.
2.Вы прочли 1-ые страницы каких-то изложений свойств действительных и комплексных чисел, встретили там упоминания о каких-то аксиомах, которым удовлетворяют эти числа - но ничего не поняли, кроме того, что встретили какие-то слова. В часности, формальная арифметика по Пеано строится целиком на сформулированных аксиомах, и ничего больше там нет, а теория действительных или комплексных чисел в тех изложениях строится совсем не так - не формально на основе чётко предьявленного списка аксиом, а предполагая извесными и построенными другие обьекты - в частности, мн-во целых чисел. Те из того, что Вы не встретили в тексте упоминания аксиом Пеано или каких-то других - вы вообразили, что они не использзуются. Успокойтесь. Используются. Только не по отношению к действительным числам - аксиомы Пеано касаются целых - а по отношению к целым, которые в свою очередь в этих теориях используются, и даже в некотором смысле она на них основана(Вам не стоит вникать в тсмысл здесь сказанного )

Но можете ли Вы сказать, что некая теорема, справедливая для натуральных чисел, будет справедлива для чисел действительных?
Разумеется, нет. Вот теорема Ферма, например...
Очень хороший пример, наглядно демонстрирующий, что именно Вы не понимаетe, и почему все Ваши рассуждения - голимая бессмыслица.
Итак, формулировку теоремы Ферма - в студию. Плиз. Только не выдуманную Вами, а настоящую, из какого-нибудь серьёзного источника.

Ещё проще. Вот утверждение : имя юзера Grigoriy - Григорий вполне осмысленно. Можно сказать, что оно осмысленно и даже верно как часть всех знаний о всех людях, живших на планете Земля, и в этом смысле - часть науки о человеческом обществе - социологии. Но согласитесь, всё-таки последнее утверждение вызывает некоторое недоумение - социология не занимается данным вопросом.

Grigoriy написал(а):Это Вы могли бы и не говорить, Григорий Это подразумевается

Grigoriy написал(а):Ну вот советская Мат.Энциклопедия, Москва, 1985 подойдет?

Подойдёт. А теперь подумайте : каким же образом эта теорема станет неверной в поле действительных чисел? Те Ваше утверждение, что она станет неверной понятно. Попытайтесь понять, почему я настаиваю, что она останется верной

Grigoriy написал(а):Это я знаю. Но стоп. Вот тут и поподробнее...

Еще раз , Григорий, - речь не о том, занимается, или не занимается та или иная наука тем или иным вопросом.

Речь о другом. Допустим, что существует утверждение, недоказуемое в рамках аксиоматики натуральных чисел. ( пример выше)
Оно останется справедливым.
Но, будет ли существовать геделевское утверждение именно для действительных чисел?

Что б Вы не мучились
Вот точный аналог Ваших рассуждений.
Не все свойства целых чисел сохраняются в поле вещественных.
Например, имеем равенство
3 + 5 = 8
Но соответствующее равенство 3.7 + 4.2 = 13.4
верным не является

Ваши рассуждения от данного не отличаются ничем.

Grigoriy написал(а):Она останется верной.
Но не в этом вопрос.

Grigoriy написал(а):Отличаются, Григорий.

Еще раз - предположим, только предположим, что геделевским утверждением является теорема Ферма.
Будет ли существовать утверждение для действительных чисел, которое естественно на теорему Ферма не будет походить, поскольку она неверна для действительных. Или мы будем так и доить натуральные числа как базу для вывода недоказуемого утверждения ?

Допустим, что существует утверждение, недоказуемое в рамках аксиоматики натуральных чисел. ( пример выше)
Оно останется справедливым.
Но, будет ли существовать геделевское утверждение именно для действительных чисел?
Тут возможно Ваше непонимание носит другой характер - Вы забыли формулировку ТГ. А там стоит: любая теория, включающая формальную арифметику. Теория(формальная) вещественных чисел включает в себя формальную арифметику.

Vladimirovich написал(а):Ну, естественно отличаются. Но не отличаются ни йоту в контексте нашего разговора. Вот именно это Вам и надо понять - если Вы действительно интересуетесь предметом разговора.

Будет ли существовать утверждение для действительных чисел, которое естественно на теорему Ферма не будет походить, поскольку она неверна для действительных. Или мы будем так и доить натуральные числа как базу для вывода недоказуемого утверждения ?
Вам уже раз пендесят сказали - например, проблема континуума - пример неразрешимой задачи, т е утверждение как о существовании так и утверждение онесуществовании множества промежуточной мощности - недоказуемы.

Grigoriy написал(а):То есть мы добились некоего прогресса. Мое непонимание носит другой характер, чем в обруганной цитате, с коей я и не был согласен, кстати. Это хорошо.

Следующий шаг сделаем.
Допустим, мы имеем геделевское утверждение, которое справедливо для теории G.
Расширим теорию G непротиворечивым набором аксиом F, позволяющим определить объекты f.
При этом для f некоторые аксиомы G несправедливы.

Будет ли существовать геделевское утверждение для теории (G+F), включающее объекты f ?

Допустим, мы имеем геделевское утверждение, которое справедливо для теории G.
Расширим теорию G непротиворечивым набором аксиом F, позволяющим определить объекты f.
При этом для f некоторые аксиомы G несправедливы.

Будет ли существовать геделевское утверждение для теории (G+F), включающее объекты f ?

А вот это уже в Нарочно не придумаешь.

Мое непонимание носит другой характер, чем в обруганной цитате, с коей я и не был согласен, кстати.
И это неплохо. Поймите, не с чем там было соглашаться или не соглашаться. Это был бессмысленный набор слов.

Grigoriy написал(а):Григорий, мне кажется, я довольно ясно объяснил, какой аспект меня заинтересовал.
И если я его не могу доказать, это не значит, что я не понимаю, о чем идет речь.
Возможно, это уже доказано, но это не значит, что все бессмысленно.

Grigoriy написал(а):Выше было приведено неразрешимое утверждение для диофантовых уравнений.
Григорий, приведите в студию неразрешимое утверждение для действительных чисел.
И все, вопрос закрыт. Мое любопытство будет удовлетворено
Я действительно не могу сейчас сформулировать свой вопрос строго формально, но Вы могли бы дурнем не прикидываться...
Профессионал должен уметь понимать непрофессионала.
Непрофессионал не должен

Отредактировано Vladimirovich (2010-02-02 23:52:47)

Почитал переписку Энгельса с Каутским... Весьма занимательно.

Григорий, приведите в студию неразрешимое утверждение для действительных чисел.
И все, вопрос закрыт. Мое любопытство будет удовлетворено
Так Вам уже приводили - и не один раз.

Гипотеза континуума - пример такой неразрешимой задачи.
Формулировка:
Существует несчётное подмножество множества действительных чисел, мощность которого строго меньше мощности множества всех действительных чисел.
Ни доказать ни опровергнуть это утверждение нельзя.

Отредактировано Grigoriy (2010-02-03 00:19:05)

По существу ув. Vladimirovich задаёт выше очень интересный вопрос: существуют ли другие аксиоматические системы, помимо арифметики натуральных чисел, для которых можно явно и всегда построить недоказуемые в них утверждения? Таким образом неполнота в смысле Гёделя таких систем была бы заведомо установлена, так как недоказуемых предложений могли бы генерировать по заказу, а сам механизм построения таких предложений указывал бы на их неисчерпаемость. Именно таким образом обстоят дела с неполнотой арифметики по Гёделю.

Я не знаю о таких теориях, отличных от арифметики (Пеано). Как-будто в своё время читал (Справочник по Математической Логике в 4-ёх томах, Теория моделей, ред. Дж.Барвайс), что имеются математические теории/модели, для которых не существует конечного набора аксиом, то бишь теории эти неполны. Григорий настаивает на том, что высшие теории неполны, но Vladimirovich правильно замечает, что неполны они лишь за счёт включения арифметики, другого механизма неполноты как-бы не видно.

Следует подчеркнуть, что полнота, разрешимость и т.д. математической теории зависят от структуры ее аксиом и поэтому неудивительно, что некоторые модели действительных чисел, НЕ содержащие аксиом арифметики Пеано в их полноте, на самом деле полные и непротиворечивые по Гёделю. Уверен, что читал о таких полных теориях полей, может групп или колец и т.п. в Теории моделей. Случай с гипотезой континуума немного другой, не следует механизму Гёделя, изолированный, набрели на того случайно. Неисчерпаемый потенциал к добавлению новых аксиом больших мощностей в теории множеств НЕ является свидетельством неполноты в смысле Гёделя - аксиомы эти заведомо не очевидные, далеко не обязательные, по большому счёту остальной математике не нужные, довольно разные между собой, то бишь отсутствует единый механизм, подобный Гёделеву, для их порождения. Мерещится мне, что счётность арифметики натуральных чисел, в отличие от несчётности действительных и бОльших множеств, играют тут определяющую роль

Вот видите, Григорий, ув. Хайдук гораздо изящнее выразил мою мысль, чем я сам
А Вы встаете в третью позицию и наезды учиняете... Нехорошо

Я правда не настаиваю, что аксиоматика Пеано - единственный механизм, но этот вопрос меня заинтересовал, поскольку я раньше о нем не задумывался ( чем и объясняются всякие глюки в формулировках )

Grigoriy написал(а):Мощность, это несколько мутно
Хотя принимаем пока

Мне вопрос не кажется интересным, но это исключительно моё личное мнение. Я со своей стороны старался помочь Вам сформулировать Ваши идеи корректно, с одной стороны избегая неграмотных формулировок типа неверности теоремы Ферма в поле вещественных чисел, а с другой - совсем уж анекдотических утверждений типа теории G, являющейся расширением теории F, аксиомы которой, однако , в G не выполняются. Ну следите же за собой
Но, повторю, Ваши вопросы мне кажутся по существу корректными(в отличие от словоблудия одного нашего уважаемого товарища)(хотя мне лично и не интересными) и потому помочь Вам корректно их сформулировать - мой долг профессионала(очень слабенького, кстати).

Grigoriy написал(а):А вот и нет, Григорий
Я не так утверждал
Т.е. с помощью аксиом F созданы объекты f, для которых не все аксиомы G справедливы.

Например, у нас есть классические аксиомы G для группы. Я добавляю к ним аксиому коммутативности F.
Данная аксиома позволит определить нам ряд новых объектов.
Создадим c ее помощью объект f - коммутативную лупу, где зато нет транзитивности.

Я что-то не то сказал?

Вы абсолютно не то сказали. А я сказал то - только поменял местами буквы, что несущественно. Следите за тем, что Вы говорите.

Пример с коммутативной лупой Вам кажется неудачным, Григорий?

Вы написали бессмыслицу, о чём я говорю Вам уже в 3-ий раз. Некоторые вещи невозможно сделать за другого. Я Вам указал, где и в чём Вы говорите чепуху - вдуматься и понять Вам придётся самим.
Нет, всё-таки попробую последний раз. Если Вы отказываетесь от аксиомы транзитивности, Вы никак не можете сказать, что Вы расширили теорию добавлением новой аксиомы. Нет, Вы заменили одну аксиому на другую. Ваше право. Но право говорить, что новая теория включает прежнюю у Вас уже нет.

Отредактировано Grigoriy (2010-02-03 21:27:57)

Grigoriy написал(а):Отлично, Григорий...
Ну не такой уж я тупой Т.е я буковки правильно поставил?

А теперь вернемся к истокам - включает ли аксиоматика действительных чисел аксиомы Пеано?
Или аксиомы Пеано используются только для доказательства специальных теорем для поля действительных чисел?
Чем будет являться эта теория (действительных чисел) без Пеано?

Отредактировано Vladimirovich (2010-02-03 21:37:36)

Владимирович, попробуйте спросить ещё у кого либо. Я устал. Я не считаю Вас идиотом, совсем напротив, и потому когда Вы вновь и вновь повторяете бессмысленные вопросы, на которые( т е на то, что Вы имеете видимо ввиду) уже много раз были даны ответы, у меня впечатление, что Вы или очень устали, и перестали понимать что Вы пишете и что Вам отвечают или надо мной издеваетесь. Возможно, я непонятно отвечаю. Тогда см Предложение 1 в этом посте.

Отредактировано Grigoriy (2010-02-03 22:10:00)