Если я доживу до часа дня в пятницу, то тогда останусь жить - ибо в суббота останется единственным возможным днём- а это невозможно по условию. Но в пятницу в 12 часов это предположение, необходимое для индукции, ещё не действует, и потому в 12.15 его вполне можно повесить
Можно быть еще более последовательным и применить то же рассуждение на шаг раньше - к субботе
Это типа, меня не могут убить в воскресенье, так как я знаю об этом заранее (так как пока еще жив после субботы), но поскольку хозяин - честный человек, то убить все же должны на этой неделе, и эта неприятность, увы, окажется для меня сюрпризом
Смерть пришла к человеку и сказала, что он умрет в течении ближайших 150 лет, и что ее визит будет неожиданным. Проведя индукцию назад, человек должен придти к выводу, что он не умрет вообще или сможет вычислить день своей смерти, а это очевидно неверно
Это убедительный примерчик, но давайте разберем его формально (кстати, о вычислить день своей смерти в парадоксе речь и не шла). Пусть N - количество дней в 150 годах, p_k - вероятность того, что он помрет в день k, k=1,...,N. По условию, если в день N-1 человек еще жив, то на следующий день Смерть его все равно заберет, а значит можно считать что p_1+...+p_N=1. Далее, можно считать что все p_k строго положительны (а иначе придется предположить, что можно прожить k дней, но нельзя k+1, а это уж совсем странно как-то). Ну а тогда утверждение Смерти окажется верным не наверняка, а лишь с вероятностью очень близкой к 1 (т.e., 1-p_N), скажем, 0,999999999999999999999997. Практически это, разумеется, ОК, но теоретически неприемлемо.
PP написал(а):
Наверное дело в том, что знание о казни в последний день основано на условии, что человек вообще дожил до этого дня, тоесть знание не абсолютно, а появляется в определенный момент. Тоесть не P(Xi|D)=1, a P(Xi|X1,...,X(i-1),D) = 1.
PP написал(а):
Serge_P написал(а):
Во-первых, непонятно что в точности означает быть сюрпризом?
P(Xi|D) 1, вероятность быть казненным в день i, на основе инфы начальника?
Такой подход я всецело поддерживаю, давайте определять сюрприз через условные вероятности. Но, чтобы посчитать эти вероятности, надо иметь какую-то конкретную модель. Попробуйте предложить модель, где утверждение начальника верно с вероятностью единица (а не просто с большой вероятностью, тогда, ясное дело, парадокс снимается). Я пока не вижу, как это можно сделать...
а иначе придется предположить, что можно прожить k дней, но нельзя k+1, а это уж совсем странно как-то
Почему же страно. Мы как истинные фриквентисты будем оценивать вероятности на основе предыдущего опыта, а поскольку никто на земле не жил 150 лет (если не принимать во внимание библейских персонажей), то мы смело можем присвоить 0 начиная с некоторого k, разве нет?
Но, чтобы посчитать эти вероятности, надо иметь какую-то конкретную модель. Попробуйте предложить модель, где утверждение начальника верно с вероятностью единица (а не просто с большой вероятностью, тогда, ясное дело, парадокс снимается).
К сожалению пока ничего конкретного предложить не могу
Это типа, меня не могут убить в воскресенье, так как я знаю об этом заранее (так как пока еще жив после субботы), но поскольку хозяин - честный человек, то убить все же должны на этой неделе, и эта неприятность, увы, окажется для меня сюрпризом
Да. Для парадокса и одного дня достаточно. Так как он думает, что казнь в воскресенье невозможна, то она будет для него ну очень неожиданной.
а иначе придется предположить, что можно прожить k дней, но нельзя k+1, а это уж совсем странно как-то
Почему же страно. Мы как истинные фриквентисты будем оценивать вероятности на основе предыдущего опыта, а поскольку никто на земле не жил 150 лет (если не принимать во внимание библейских персонажей), то мы смело можем присвоить 0 начиная с некоторого k, разве нет?
Таким способом вероятности очень редких событий оценивать не принято: это получится, к примеру, что если некое событие до сих пор ни разу не происходило, то оно совершенно точно не произойдет никогда. В данном конкретном случае, как именно выбрать k? Взять срок жизни долгожителя-чемпиона? Но тогда, даже если предположить что у нас есть такие данные, получится что с вероятностью 1 никто никогда не проживет дольше этого чемпиона. Согласитесь, что в этом мы не можем быть абсолютно уверены...
Выдающийся математик Теренс Тао в своем блоге тоже высказался по-поводу этого парадокса (видимо, по следам нашего обсуждения
):
Ah, yes, the unexpected hanging paradox. There are some similarities between the two puzzles, in that one has to work with chains of higher-order knowledge statements (Bond-on-Monday knows that if he is not killed on Monday, then Bond-on-Tuesday knows that …), though now the deductive chain is working backwards in time rather than forwards.
To me, though, the resolution of the unexpected hanging paradox is the fact that once there are two or more days involved, there is an implicit assumption that Bond knows the consistency of his own knowledge (or more precisely, of the consistency of his future knowledge). For instance, suppose that the execution is either at Monday-dawn or Tuesday-dawn, and consider the state of Bond’s knowledge at Sunday-dusk (just before Monday-dawn) and Monday-dusk (between Monday-dawn and Tuesday-dawn). Let me abbreviate these states of knowledge as Bond-Sunday and Bond-Monday respectively.
Bond-Sunday knows that if there is no execution at Monday-dawn, then Bond-Monday will know the following facts:
1. There was no execution at Monday-dawn.
2. Bond-Monday knows that there was no execution at Monday-dawn.
3. The execution is either at Monday-dawn or Tuesday-dawn.
4. Bond-Monday knows that the execution is either at Monday-dawn or Tuesday-dawn.
5. On the date of the execution, Bond will be completely surprised by the event.
These five facts are inconsistent with each other, and hence Bond-Monday’s knowledge would be inconsistent. However, in order for Bond-Sunday to then deduce (via reductio ad absurdum) that there is an execution at Monday-dawn, he must first know that Bond-Monday’s knowledge is consistent. But this itself will lead to an inconsistency in Bond-Sunday’s knowledge, by similar arguments to above (and so forth back in time, if we consider more than two days).
So we see that the unexpected hanging paradox is in fact closely related to Godel’s second incompleteness theorem, which roughly speaking prevents any reasonable and consistent formal system from knowing its own consistency. This connection is discussed in detail in this recent Notices article of Kritchman and Raz.
Note that the blue-eyed islander puzzle is unaffected by this issue, because at no point does any islander need to know that any other islander’s knowledge is consistent (or any iteration thereof). Instead, they need to know that the other islander’s knowledge is logical (i.e. closed under the rules of deductive logic), which is a different property.
Вроде-бы, похоже на позицию Vladimirovich-a. N'est-ce pas?
Интересно заметить, кстати, что даже такой крутой математик как Тао, похоже, в своем решении уверен не полностью (To me, though, the resolution of the unexpected hanging paradox is ...).
