а вот матиматику и мне нахрен знать если наглядно понимаю необходимость гармонического преобразования для любых сред, даже самых запутанных нелинейностями...
Шикиматный путь, гетероциклы и бензольные кольца
12 Фев 2015 15:20 #274
За пределами классического Фурье
Итак, классическое Фурье-преобразование выглядит так
[tex]\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{\infty }^{-\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt[/tex]
Теперь же попробуем сформулировать, где же с ним начинаются проблемы, но извежим ненужных подробностей, чтобы соответствовать стилю изложения.
Проблемы эти во многом решаемы, но выходят за рамки классики Фурье
В базовом варианте их четыре
Четыре врага советской власти - зима, лето, осень и весна
1. Затухание сигнала.
Представим себе, что наш сигнал - это разряд конденсатора на некую нагрузку
Ясно видно, что никаких гармоник тут нет. Можно, в схоластических целях разложить эти графики на синусы и косинусы, то бишь гармоники, но это извращение.
Тем не менее, это сигнал отлично может быть преобразован по Фурье.
Однако, на картинке quantoforum.ru/nobelprize/2205-matematik...ogov?start=60#308381
Нужно будет предположить, что угол ф будет комплексной величиной, а именно чисто мнимым в данном случае.
И исходный сигнал мы разлагаем не на гармоники, а на экспоненты.
Такое преобразование называется преобразованием Лапласа.
С точки зрения уравнений затухание соответствует добавлению первой производной. У нас до сих пор была всегда вторая
Процесс при этом остается линейным
2. Внешнее возбуждение
Соответствует тому, что в уравнение добавлена некая функция F(x,t). Это очень жизненный случай Спектр при этом начинает плыть во времени в соответствии с разложением на гармоники этой функции
Но вот позволит ли снятие сигнала в одной точке понять, что была сыграна соната Бетховена....
Как получить партитуру?
Задача остается линейной, преобразование Фурье может быть вполне использовано, но это задача уже совсем не один взятый интеграл Фурье!
Впрочем, это предмет многих исследований и относится более к алгоритмам
3. Дисперсия
Здесь в уравнении появляются некие слагаемые, которые вносят зависимость скорости гармоники от ее частоты
Приводит это к тому, что импульс сигнала по мере движения размывается.
При этом спектр сигнала не меняется!
Это противоречит опять же классическому Фурье, где спектр обратным преобразованием позволяет четко получит исходный сигнал
4. Нелинейность
Здесь в уравнении появляются слагаемые, которые не являются первой степенью функции или ее производных. Здесь размывается и импульс и сам спектр. Т.е все по мере движения
Применение Фурье здесь связано со множеством ограничений, приближений и обобщений.
Комбинация нелинейности и дисперсии может однако приводить к удивительным эффектам.
Если нелинейность, например, вызывает появление "барашков", как на море, а дисперсия наоборот, замедляет движение гребня....
То при совпадении звезд и появляются загадочные устойчивые образования - солитоны.
Это принципиально нелинейный дисперсионный процесс.
А может быть сосредоточится на отличие параметрического резонанса от линейного и описать как возможно и появляется то, что здесь существуют целые частотные области резонанса, в то время как в линейном резонансе речь идет о конкретной частоте. Также описать почему отличием является наличие ненулевых начальных условий. Тем более что решение уравнения Матье выражается через периодические решения Матьё уравнения которые существуют только тогда, когда точка (a, q )на плоскости параметров лежит на границе зон устойчивости. С тем что бы понять, как дискретные данные из записи в файлах данных мШЭИ ложатся на организацию этих зон???
ps Вступительная лекция в техническом ВУЗе. Профессор говорит:
— Для начала я вам объясню кто такой инженеp. Итак, пpедставьте себе завод, кyда каждый день пpивозят машинy спиpта для технических нyжд. Стоит огpомный бак, кyда заливают спиpт. Около бака сидит yчетчица, котоpая выдает спиpт стpого по накладной (y бака есть кpаник). Вечеpом остатки спиpта сливаются чеpез тот же кpаник. Ставлю вопpос, как yкpасть спиpт с завода?
Обалдевшие стyденты, начинают выдвигать веpсии.
— А тепеpь ответ, — говоpит наш пpофессоp — инженеpы поставили в бак ведpо. В pезyльтате ведpо наполнялось, когда yтpом заливали бак, а после того как спиpт сливался, ведpо вытаскивалось и pаспивалось. А тепеpь бyдем yчиться на инженеpов.
Шикиматный путь, гетероциклы и бензольные кольца
15 Фев 2015 07:12 #279
Хайдук wrote:
сложилось впечатление, что высшие производные в дифурах тоже вызывают нелинейность
А почему оно сложилось?
Если есть два решения диф.уравнения, А и В, то и их сумма будет решением А+В, для любой производной высшего порядка.
Т.е никакой нелинейности нет.
Шикиматный путь, гетероциклы и бензольные кольца
15 Фев 2015 07:40 #280
Чукча не из Сибири ... wrote:
А может быть сосредоточится на отличие параметрического резонанса от линейного и описать как возможно и появляется то, что здесь существуют целые частотные области резонанса, в то время как в линейном резонансе речь идет о конкретной частоте.
Я не уверен, что у меня вот так просто получится объяснить в стиле данной темы
Параметрический резонанс - это изменение параметров системы, которое может вызвать ее неустойчивость, которая и будет резонансом
И без анализа непонятно, почему такое явление должно быть привязано к одной конкретной частоте.
Вернемся к нашему старому примеру - грузик на пружинке
Если мы толкнем грузик вниз когда он идет вниз, и наоборот, то очевидно, его амплитуда увеличится и будет еще увеличиваться с каждым циклом.
Вот это простейшая форма резонанса обычного
Тот же самый эффект бы возник, если бы умели мгновенно менять массу грузика иди жесткость пружины.
А это уже параметрический резонанс
В последнем случае в уравнении гармонического осциллятора x"+w2x=0 частота w становится переменной.
Это уравнение Хилла.
Если w будет сама гармонической функцией, то мы и получим уравнение Матье.
Для каких значений параметров уравнения Матье возникнет неустойчивость?
Это уже чистая математика. Оказывается, есть зоны неустойчивости, а значит и резонанса.
Лучше тогда такой пример, подталкиваете Вы качели, а они все раскачиваются и раскачиваются. Если, конечно, Вы попадаете в такт. Иначе будет обратный эффект. Попадание в такт и есть совпадение частот. А вот если никто качели не подталкивает, а точка их крепления понемногу колеблется (модель грузика на пружине). Или, что еще чаще встречается, Вы раскачиваете ногами, чтобы увеличить амплитуду раскачивания качелей. Это уже как все поняли и есть параметрический резонанс.
Вот это уравнение с действительными коэффициентами
ну и как частный случай Хилла уравнения, а фундаметнальная система решений Матье уравнения имеет следующий вид
Особенностью этого уравнения в следующем - существуют "зоны" значений параметров при которых решение будут выглядеть в виде произведения экспоненты и какой-то периодической функции , что и показано на рис т.е. здесь то и существуют целые частотные области резонанса, в то время как в линейном резонансе речь идет о конкретной частоте. Поэтому пакеты из данных файлом мШЭИ и срабатывают.
ps Последнее изобретение одного из НИИ: фонарик на солнечной батарее....
....Поэтому пакеты из данных файлом мШЭИ и срабатывают.
Вывод, впрочем, высосан из пальца и не следует из вышеизложенного. Чукча не из Сибири ... wrote:
Лучше тогда такой пример, подталкиваете Вы качели, а они все раскачиваются и раскачиваются. Если, конечно, Вы попадаете в такт. Иначе будет обратный эффект.
Это пример не корректный.
В чем разница резонансов...
На примере осциллятора....
В первом случае добавляется внешнее возбуждение
x"+w2x=f(t)
Тут собственная частота системы w НЕ меняется. А значит, частоты резонансов дискретны. - можно качать качели через раз, через два и т.д.
Параметрический же резонанс для качелей, это если человек приседает в такт. Тем самым меняя саму систему.
Вы же понимаете, что человек на качелях, толкающий их, подобен барону Мюнхгаузену, вытаскивающему себя за волосы из болота
Тогда меняется сама w в уравнении.
А тогда - какую конкретную частоту Вы хотите видеть в качестве резонансной?
Она же плывет постоянно во времени.
Вот отсюда и зоны неустойчивости.
...Вы же понимаете, что человек на качелях, толкающий их, подобен барону Мюнхгаузену, вытаскивающему себя за волосы из болота
Тут Мы, "Чукчи ..." не согласны. Раскачивание ногами - изменение момента инерции. А значит частота будет зависеть от времени соответствующим образом. Причем, изменения момента инерции можно считать не слишком большими, тогда можно все это разложить в ряд и получить уравнение Матье.
ps Учительница: - Вовочка, кто такой был Архимед? - Ну... это был ученый... как-то раз он мылся в ванне и закричал: "Эврика!" - И что означает "эврика"? - Ну... это означает "нашел". - И что же он нашел? - Не знаю... Мыло, наверное...
Осторожно напомним О!!! Великому Инквизитору!!!
Что мы то и рассматриваем ряд - как набор данных записанных в виде мШЭИ...
ps На приемных экзаменах геофака МГУ. Экзамен по физике.
Преподаватель:
— Что такое электромагнитные волны?
Студент:
— Электромагнитные волны были изобретены Поповым в начале нашего века для создания радио и имели длину 3 метра
Вот Мы, "Чукчи ..." и мечтаем, что бы общими усилиям и процедить эту мутную идею, разобрать в этом, а то слишком много опытов говорят о том, что зерна истины все таки есть ..
ps Телефонный звонок:
— Алло, это квартира Сидорова Ивана Петровича?
— Нет, это квартира Каца Абрама Самуиловича.
— Извините, это 22-38-89?
— Нет, это 22-38-88.
— Надо же! В шестом знаке ошибка, а такой эффект...
….Ну и что у вас по косинусу изменяется, что Матье получается?...
Ответ
Тут дело в подборе адекватной модели. Предположим, что N-молекула (искомая или конгломерат их, но это в общем случае нужно рассматривать уже и отдельно) и в некотором приближении и есть колебательный контур или идеализированная система некого колебательного контура (предполагая что мы знаем и дипольный момент молекулы), для упрощения можно представить как условно плоский конденсатор. Площадь которого меняется из-за изменения расстояния пространственной ориентации диполя (молекулы) с некой частотой. Вот там и косинус и можно вводить. Тем более такой подход можно рассматривать и для изменения емкости при внешней накачки (задержки и последующего сброса лишней энергии), так как изменения ширины сброса в результате действия накачки эквивалентно и изменению пространственного положения диполя-молекулы.
После ряда преобразований можно прийти к уравнению Матье (которое часто встречается и в радиотехнике).
ps Преподаватель спрашивает студента старших курсов:
— Что такое дифференциал?
Студент задумчиво:
— Сначала не знал, а потом привык.
Кажется больше возражений у специалистов не наблюдается?!
С ума совсем сошел ?
Какие еще могут быть возражения тут !
Вот там и косинус и можно вводить. Тем более такой подход можно рассматривать и для изменения емкости при внешней накачки (задержки и последующего сброса лишней энергии), так как изменения ширины сброса в результате действия накачки эквивалентно и изменению пространственного положения диполя-молекулы.
После ряда преобразований можно прийти к уравнению Матье (которое часто встречается и в радиотехнике).
Если чукчи грозятся каждому несогласному косинус ввести.
Будем считать, что с абстрактной моделью, которая имитирует молекулу в растворе (или конгломерат их) возражений нет. Модель объемного параллелепипеда (как некого осциллятора или набора осцилляторов,описываемых уравнением Матье) в пространстве принята за основу (так как в обоих случаях и при облучение лазером при получение данных на запись и при воздействие через антенные комлексы идет двумя ортогональными модами и мы фиксируем или используем эти объемные данные используя файл данных мШЭИ). В связи с дискретностью записи данных (в любом формате) стоит вопрос об адекватности этой записи относительно реальных излучений или пространственного положения осциллятора (или конгломератов их) в динамике. Другими словами нужно оценить диаграмму устойчивости для дифференциального уравнения Матье. Мы предполагаем что набор данных в файлах мШЭИ (полученных по методике Г.Тертышного и примкнувшему к нему в последствии П.Гаряева) могут ложится в области устойчивости (см.рис.128 диаграмма устойчивости по Айнсону и Стретту).
ps Шефская помощь селу. Бригадир:
— Всем копать! Хто тут математики? Будете корни извлекать!
Солитон, напротив, энергию переносит и очень много при случае. Пример - цунами
Именно поэтому цунами гораздо разрушительнее обычно морской волны, хотя последняя может быть и выше.
Т.е в среднем поступательного движения частиц НЕ происходит.
А в цунами
Vladimirovich wrote:
Ибо вместе с орехом бежит и суслик
Вот в этом и разница солитона.
Проведем другую аналогию.
Вот у нас есть баян. Как бы сильно мы на нем не играли на свадьбе, в лучшем случае мы его порвем
А вот баян, запущенный в голову шурина двоюродной сестры невесты, может иметь значительно более разрушительные последствия.
Ибо вместе с орехом бежит и суслик
Вот в этом и разница солитона.
Проведем другую аналогию.
Вот у нас есть баян. Как бы сильно мы на нем не играли на свадьбе, в лучшем случае мы его порвем
А вот баян, запущенный в голову шурина двоюродной сестры невесты, может иметь значительно более разрушительные последствия.
Сорри, что перебиваю. В этой аналогии: Солитоны на мол.ДНК, РНК. Как? Колебания нукл.вдоль цепи ДНК. Вращательная динамика. ЭТО ВСЕ -ДА. Солитоны-???
значит солитон это не волна в собственном смысле, когда молекулы воды дают пинок под зад соседним молекулам, а сами мчатся к берегу со страшной силой (недаром забирают вглубь прибережную воду, обнажая дно, дабы вернуться скоро сметая всё и вся)?
стоячие волны классической модели и образуют солитоны и по сути ими и становятся...
поскольку стоячие волны линейны, я не уверен, что могут состряпать солитон, может ув. Владимирович впарит ещё раз существенную разницу между обычными волнами/бегущим импульсом и солитоном
Все правильно, ув.Хайдук
Классическая стоячая волна линейна и есть сумма прямой и обратной волн.
Солитон же принципиально нелинеен.
Так, у обычного звука мы легко можем увеличить громкость в два раза, но принципиально ничего не изменится.
Разве соседи могут прибежать
Сумма волн в линейной среде - звука в комнате - не меняет принципиально ничего.
На этом и основано преобразование Фурье.
Музыкант отлично различает все взятые ноты.
Нелинейная же среда превращает сумму двух волн в нечто другое.
Отметим особо - нелинейность есть свойство и среды и параметров самой волны!
Это тоже важно. Так волны малой амплитуды в нелинейных средах могут вполне рассматриваться, как линейные. Это т.н линейное приближение.
Звуковые же волны очень большой амплитуды или скорости уходят в нелинейность.
Так, появляется принципиально новое явление - ударная волна.
На воде же типичный видимый нелинейный эффект - "барашки" - обрушение волны.
При слабой ряби он не виден. Ну и еще есть много много разных эффектов в разных областях физики.
Вот появление принципиальных изменений в нелинейных волнах и делает для них преобразование Фурье, которое по определению есть сумма, неточным или вообще бесполезным.
