Пусть x1...xn - наши числа.
Тогда xnx1+xn...x(n-1)+xn и мы добавляем как минимум n-1 новое число.
Тройные суммы добавляют n-2 новое число:
x(n-1)+xn x1+x(n-1)+xn ...x(n-2)+x(n-1)+xn.
И т.д. и в конце получаем как минимум n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2 различных чисел.
Возвращаясь к нашему разговору с Евгением, тут на самом деле интересный чисто лингвистический момент. В русском языке конечно нонсенс говорить о сумме, когда имеется ввиду одно число - поэтому я обязан был дать разьяснение. Но и то, что математики говорят о сумме, когда речь идёт об одном числе или даже ни об одном(тогда - ноль) не прихоть, а необходимость. В вычислениях в математике(и вероятно в терфизике) границы суммирования обычно переменные, и было бы крайне неудобно рассматривать отдельно случаи, когда верхий индекс меньше или равен нижнему, а технически в этом нет никакой нужды. Потому изменение словоупотребления неизбежно.
Моё решение последней задачки несколько иное, чем у прокрастинатора(хотя приводит к тому же набору) и нравится мне больше - т к яснее. Редкий случай для сравнения индуктивного доказательства с прямым.
Итак, действуем по индукции. Для перехода от n-ого шага к н+1 нам надо предьявить очевидно на n+1 неравных сумм больше. n(n+1)/2 неравных сумм у нас уже есть. Прибавим к каждой из них A с индексом n+1 . получим те же n(n+1)/2 неравных сумм. И ещё у нас есть наши числа от A1 до An+1. которые все меньше предыдущих сумм
Итак, действуем по индукции. Для перехода от n-ого шага к н+1 нам надо предьявить очевидно на n+1 неравных сумм больше. n(n+1)/2 неравных сумм у нас уже есть. Прибавим к каждой из них A с индексом n+1 . получим те же n(n+1)/2 неравных сумм. И ещё у нас есть наши числа от A1 до An+1. которые все меньше предыдущих сумм
Очень хорошо. Оба решения отличны - procrastinator, Grigoriy, +1
Касательно суммирования, лучше чётко определить. Ибо для школьника сумма это прежде всего бинарная операция сложения. Когда говорят о всевозможных суммах, понятие расширяется.
С другой стороны, любое число есть результат суммирования этого числа с нулём.
Пусть a и b - наши стороны и ha с hb - высоты проведенные к ним, тогда
a = ha = b и аналогично
b = hb =a
(левые неравенства из условия задачи, а правые - потомы что высоты)
Значи a=b и стороны перпендикулярны.
Герхарт Опфер из Гамбургского университета заявил, что ему удалось доказать так называемую гипотезу Коллатца. В настоящее время работа (pdf) ученого подана в журнал Mathematics of Computation.
Гипотеза касается некоторого алгоритма построения числовой последовательности, известного как HOTPO (Half Or Triple Plus One - половина или утроенное плюс один). На вход подается некоторое число xn (член последовательности за номером n), а на выходе получается член последовательности с номером n+1. При этом, если xnчетное, то xn +1 равно половине xn. В противном случае xn + 1 = 3xn + 1.
Легко видеть, что, если xn = 1, то на следующем шаге мы получим 4, а еще за два шага вернемся к единице, то есть, алгоритм зациклится. В 1937 году Лотар Коллатц предположил, что вне зависимости от того, с какого числа мы начинаем, рано или поздно в нашей последовательности встретится единица и алгоритм сведется к данному простому циклу. За годы изучения задачи было установлено, что гипотеза Коллатца связана с решением разного рода задач из теории чисел, фрактальной геометрии и других областей математики.
Главным инструментом, который использовал Опфер при решении задачи, были операторы на пространстве голоморфных функций - объекты из совершенно другой области математики, имеющей дело с комплексными числами и функциями от них.
В настоящее время работа еще не прошла рецензию, поэтому в статье могут обнаружиться ошибки. В августе 2010 года, например, индийский математик Винэй Деолаликар (Vinay Deolalikar) заявил, что ему удалось решить задачу о несовпадении классов сложности P и NP. Позже, однако, в работе математика была обнаружена ошибка.
Легко видеть, что, если xn = 1, то на следующем шаге мы получим 4, а еще за два шага вернемся к единице, то есть, алгоритм зациклится. В 1937 году Лотар Коллатц предположил, что вне зависимости от того, с какого числа мы начинаем, рано или поздно в нашей последовательности встретится единица и алгоритм сведется к данному простому циклу.
Прочитав в прошлом тысячелетии эту задачу у Редже (в той книге еще был шуточный рассказ о вечном двигателе) тупо проверил для простых (до 100) чисел, что будет, если нечетные не утраивать, а увеличивать в 5 раз, а потом добавлять +1 и делить на 2. Тоже зацикливается, только необязательно на 1.
Кроме того, если учесть нынездравствующее понятие натурального числа, и как учил меня Учитель учителя тот факт, что натуральных может быть сколь угодно много, например 2 в степени натуральное, то неизбежно в получим после очередного увеличения натурального в натуральное число раз и +1 не просто четное число, а степень двойки!
и есть и задач подобных может быть бесконечное множество.
Там вот в чём дело: когда эти 4 тетраэдра построены(там видимо единственный вариант, который приходит в голову почти сразу) то что внутри - тоже тетраэдр. Я этого так и не смог увидеть в воображении - даже после рассматривания картинки в книжке, где это ясно нарисовано.
