читал о нескольких доказательствах непротиворечивости арифметики. С небольшими выходами за саму арифметику
непротиворечивость оказалась одной из бесконечно многих (по-моему, про мощность этих многих прикидывал в "Доказуемое и недоказуемое" любимый Григорию Ю.И.Манин) и потому неустранимых неполнот арифметики, в чём причина этого не знаю
Вот взять уравнение Гельмгольца.
Само по себе оно скромная часть математики.
А в физике фундаментально для ЭМ волн в вакууме и других волновых процессов. Почему?
Вне физики оно собственной сущности ни на грамм не содержит.
вне физики да, но...
в физике фундаментально для ЭМ волн в вакууме
... после чего мало ЭМ волн остаётся вне уравнения этого
Можно довольно близко описывать физический процесс, но рано или поздно мы сталкиваемся с отклонением.
Так всегда было.
Теперь вот "темная материя"....
А значит, никакой гарантии, что мы описали все правильно.
Может это и правильно при условии Х на Земле, но неправильно в районе Сириуса.
отклонение не обязательно признак того, что описали неправильно, может приходится учитывать новые/внешние условия, которые жмут на и загибают наше иначе (без этих условий) правильное описание; может забрели в меньшие/бОльшие масштабы, где уже другая структура и новая физика, хз ; хорошие описания простых систем с трудом выдерживают простое увеличение числа частиц/степеней свобод, поскольку вычисления становятся слишком громоздкими даже для компов и фактически не можем их проверить/сравнить с опытом.
хоть структура уменьшающихся/увеличивающихся по сравнению с человеческим масштабов нам НЕ известна, может всё-таки она остаётся доступной эзотерическим, но зато строгим методам наподобие математических? эпициклы Птолемая это один из немногих примеров неудачного описания, которое не может быть расширено на другие части космоса и пр.; в отличие, ОТО Эйнштейна не только получает эти эпициклы, но и применили успешно к довольно широкому кругу явлений, потому и держимся за юбку её по части "тёмной материи" пока.
физика может и непредсказуема, но не думаю, что её понятия и объекты могут стать вроде более солидными, что ли, или более "субстанциональными" чем математические, поскольку любое бытие должно как-бы улетучиваться на засыпку самому себе, вслед за СЗК
хоть структура уменьшающихся/увеличивающихся по сравнению с человеческим масштабов нам НЕ известна, может всё-таки она остаётся доступной эзотерическим, но зато строгим методам наподобие математических?
эпициклы Птолемая это один из немногих примеров неудачного описания...
не знаю почему беспримерный Гильберт, Бурбаки и другие надеялись незамысловатой и вообще топорной перетасовкой (никак НЕ математических по духу) знаков решить проблему непротиворечивости - ведь всё зависит от того каким (абстрактным) смыслом наделяют эти знаки : если просекаешь и держишь в башке смысл, то к чему знаки?
Все понятно - еще Пуанкаре писал про якобы "бескрылых" математиков, не пользующихся матлогикой.
Но возвращаясь к эпициклам, точность Евдокса а затем Птолемея наверняка была на порядок выше коперниковской. Но тем не менее, "истину всегда можно узнать по простоте и изяществу" - именно в этом смысле теория Коперника существенно превосходит древнегреческую школу
думаю, что Пуанкаре считал "бескрылыми" как раз тех, кто пользуются матлогикой/формализмом знаков, а не крылями (смыслового/концептуального) воображения
Мне не очень понятна Ваша мысль, ув. Хайдук и что Вы хотите опровергнуть...
если Вы о формализме знаков в матлогике, ув. Владимирович, то я не могу поверить, что обозначения (чернилом на бумаге, пикселями на экране) могут или должны играть хоть бы сколько-нибудь существенную роль, имхо они должны только способствовать не терять или забывать ниток рассуждения, не ошибаться тупо по рассеянности - ведь знаки чернилом или карандашом не могут быть математическими объектами уже по своему грязно-эмпирическому происхождению
возвращаясь к эпициклам, точность Евдокса а затем Птолемея наверняка была на порядок выше коперниковской. Но тем не менее, "истину всегда можно узнать по простоте и изяществу" - именно в этом смысле теория Коперника существенно превосходит древнегреческую школу
похоже, что ув. Владимирович воспринимает как нечто похожее на трагедию неизбежный прокол некоторой мат. модели, в то время как её просто следует заменить другой, следует верить, что можно и должно заменить её другой, но таковой/математической же
ведь знаки чернилом или карандашом не могут быть математическими объектами уже по своему грязно-эмпирическому происхождению
Атнють. Являются в той же мере, как шахматная нотация является шахматными ходами.
И шахматист четко отличает в каком месте нотация противоречит правилам игры.
В математике это является опровержением доказательства.
похоже, что ув. Владимирович воспринимает как нечто похожее на трагедию неизбежный прокол некоторой мат. модели, в то время как её просто следует заменить другой, следует верить, что можно и должно заменить её другой, но таковой/математической же
Я так его понял, что он настаивает на глобальной аксиоматике - физике, развивающейся в обязательном единстве объяснения всех наблюдаемых явлений. Применительно к солнечной системе это выглядит так: древнегреческие эпициклы - круговые орбиты Коперника (сильное упрощение ранее существовавшей модели) - точные наблюдения Тихо Браге - эллипсы Кеплера - механика Ньютона (движение притягивающихся тел по коническим сечениям) - дальнейшие уточнения ОТО Эйнштейна (тонкие поправки орбиты Меркурия). При этом математически точно можно описать процесс и в эпициклах, но последовательное обобщение и единая аксиоматизация заставляют отдать предпочтение универсальной модели.
Да, но самое главное, мы никогда не можем быть уверены, что своими уравнениями постигли физическую суть.
И что, как говорится, для любого [tex]\varepsilon[/tex] существует такое [tex]\delta[/tex] , что....
Очень хороший вопрос. Некая трансцендентная физическая сущность движется по кругу.
Уравнения Максвелла (уравнение Гельмгольца в итоге) это тени ея, что мы видим в Платоновой пещере.
обязана ли сущность сия оставаться трансцендентной? мат. модели могли бы накрыть ея, потихоньку и по частям, хоть и шито-крыто будет видно белыми нитками
Мы даже точно не знаем, является ли наше физическое приближение к истине сходящимся по Веейрштрассу
Математика же подобных приближений не знает в приниципе.
не уверен, что приближение по Веейрштрассу будет хорошей метафорой - вот квантовая механика показала как радикально могут поменяться парадигма и понятия, заставить по-другому смотреть на мир; хотя состыковывание (в частности количественное) должно иметь место быть, крупномасштабные структуры/паттерны классической физики должны вырисовываться как эмерджентные, так сказать, какими бы радикальными не выступали квантовые представления
Уравнения Максвелла (уравнение Гельмгольца в итоге) это тени ея, что мы видим в Платоновой пещере.
уравнения сии должны работать не только в вакууме, но и в тех вещественных средах, которые можно усреднить и посчитать непрерывными в хорошем приближении
ведь знаки чернилом или карандашом не могут быть математическими объектами уже по своему грязно-эмпирическому происхождению
Vladimirovich wrote:
Являются в той же мере, как шахматная нотация является шахматными ходами.
И шахматист четко отличает в каком месте нотация противоречит правилам игры.
В математике это является опровержением доказательства.
однако на практике математики не мучают себя такими опровержениями, что подходят только компу и до сих пор применили лишь пару-другую раз (в 4-х красках, кучкувание 3-шаров в 3-пространстве и ... фсё, по-моему); само построение таких формальных систем требует кучи усилий и наверняка чревато тонкими ошибками интерпретации того ЧТО на самом деле выдаст комп