Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
03 Апр 2017 19:24 #482
Хайдук wrote:
то бишь "свойств" (что такое "свойство"?) нам не нужно, если уже можем различать элементы и формировать из них любые множества
А вот это особый вопрос, и мне Ваша трактовка представляется неверной
Есть коллективизирующие соотношения, которые порождают множества.
Есть аксиома отбора, которая позволяет отобрать и различить элементы (не путать с аксиомой выбора)
Свойство есть просто соотношение. Является ли оно коллективизирующим, заранее неизвестно.
Это особый тип соотношения, подмножество соотношений теории.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Апр 2017 17:05 #484
основы логики ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3...8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0 показывают почему её можно заформализовать знаковым языком: её средства/понятия вторят тем математики дискретного конечного ; любое понятие/идея, любое суждение будет конечной дискретной сущностью/объектом, даже представление о квантовом запутывании ЗА пределами (!) мира эмпирического опыта будет лишь конечным дискретным элементом в порядке потуг на (логические, вестимо, других не бывает) рассуждения
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
23 Окт 2018 06:37 #486
Специально для ув.Хайдука... habr.com/post/427339/
Почему теорему Гёделя о неполноте сложно доказать
Это может показаться удивительным, ведь всё доказательство по сути можно уместить в один абзац. Гёдель начинает с построения математического утверждения, по существу эквивалентного предложению,
Это утверждение невозможно доказать.
Затем Гёдель рассматривает, что будет в случае, если это утверждение ложно. То есть если это утверждение можно доказать. Но любое утверждение, которое может быть доказано, должно быть истинным — здесь противоречие. Из этого Гёдель делает вывод, что утверждение должно быть истинным. Но, поскольку утверждение истинно, из этого следует, что утверждение не может быть доказано. Обратите внимание, что это заключительное утверждение не является противоречием. Наоборот, это и есть доказательство теоремы Гёделя.
Так почему же реальное доказательство настолько сложное? Хитрость в том, что то, что может звучать как действительное математическое утверждение на английском языке, часто таковым не является (особенно когда предложение ссылается само на себя). Рассмотрим, например, такое предложение:
Это предложение ложно.
Предложение бессмысленно: оно не может быть ложным (поскольку это сделало бы его истинным) и оно не может быть истинным (поскольку это сделало бы его ложным). И его, конечно, нельзя записать в виде формального математического утверждения.
Вот ещё один пример (известный как парадокс Берри):
Определите {x} как наименьшее натуральное число, которое нельзя описать менее чем 100 словами.
Это может выглядеть как допустимое математическое определение. Но опять же, оно не имеет смысла. И, что важно для здравомыслия математики, никакое аналогичное утверждение невозможно записать формально, то есть математически.
Даже утверждения на языке математики могут быть бессмысленными:
[tex]S = \{A \mid A \not\in A\}[/tex]
(то есть — это множество множеств , которые не являются элементами самих себя).
Это снова бессмысленное определение (известное как парадокс Рассела). В частности, как только мы определили , мы можем задать вопрос, содержит ли себя? Если это так, то не может быть членом — противоречие; а если нет, то будет членом — опять противоречие.
Смысл этих трёх примеров в том, что если вы хотите доказать теоремы о математических утверждениях, то следует быть очень осторожным насчёт того, что вы реально оперируете математическими утверждениями. И действительно, от 46 определений в начале до удивительно плотных доказательств в конце оригинальная статья Гёделя — ни что иное, как массивное упражнение в осторожности.
В комментах правда говорят, что все это муйня, а правильнее читать тут habr.com/post/400513/
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
23 Окт 2018 08:03 #487
В пршлом тысячелетии, когда записал ЛЮБОЕ число с заданной точностью только одной цифрой (и с учетом "очевидности", практичности и "симпатичности" вселенсконатурального), написал в фонд Льва Сапеги свое мнение о сабж.
Ну выдумана она
на базе "объективных" бесконечностей и неисчерпаемостей,
а также ДА/НЕТ (командно/начальственной логики).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА такие же нужны? Да, пожалуйста.
Это предложение ложно.
Предложение бессмысленно: оно не может быть ложным (поскольку это сделало бы его истинным) и оно не может быть истинным (поскольку это сделало бы его ложным). И его, конечно, нельзя записать в виде формального математического утверждения.
А вот вам, ув. читатели и почитатели КФ, моё предложение, почти такое же, только ИСТИННОЕ:
]Это предложение ложно?(с)
Как принято говорить в математике, с точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка, на примере книги ФИЗИКИ о физиках утверждал и утверждаю, что, как говорил ув. Учитель бывшего учителя, там, в бесконечностях или тут, с привлечением бесконечностей, доказуемо все, даже то
что не все можно доказать,
а тем более ТО, что не надо НАЧАЛЬСТВУ!
Руководству: 1.научному (доказывыть что научный руководитель НЕ ПРАВ?)
Warning: Spoiler![ Click to expand ][ Click to hide ]
Ну не захотел мой руководитель дипломной "ИК - звездный фотометр на базе AsGa" крыльчатку модулятора из фотобумаги, пришлось из плексигласа сделать, и работать с частотой много меньшей
2. политическому (доказывать коммунисту что он почище фашиста?)
3. непосредственному (доказывать. что я начальник, а ты дурак?). Все это можно доказывать ТОЛЬКО до бесконечности, как плевать против ветра.
Вывод: Мой нач КБ, Шуткевич, а не Шушкевич, тезка, был прав,
Warning: Spoiler![ Click to expand ][ Click to hide ]
когда при переводе УПД-2 с ИМС "Тропа" на 133-ю число субблоков уменьшил вдвое и предложил еще уменьшить
сказпв: ХВАТИТ, так можно до бесконечности все улучшать. Так что да здравствуют нынешние достижения: константы (с), теоремы (сабж), аксиомы (выбора). Их каждый выбирает по себе.
Warning: Spoiler![ Click to expand ][ Click to hide ]
23- "мое число". Пора на дачу - огород. Остальное потом прочту м.б.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
24 Окт 2018 13:54 #488
Vladimirovich wrote:
Почему теорему Гёделя о неполноте сложно доказать
Это утверждение невозможно доказать.
Гёдель рассматривает, что будет в случае, если это утверждение ложно. То есть если это утверждение можно доказать. Но любое утверждение, которое может быть доказано, должно быть истинным — здесь противоречие. Из этого Гёдель делает вывод, что утверждение должно быть истинным. Но, поскольку утверждение истинно, из этого следует, что утверждение не может быть доказано... это заключительное утверждение не является противоречием. Наоборот, это и есть доказательство теоремы Гёделя.
Vladimirovich wrote:
В комментах правда говорят, что все это муйня
тот горе-математик Sirion в комментах брешет, никакая это не муйня, а улавливает суть построения Гёделя: у него доказуемое истинно по определению, ложных доказуемых не бывает и потому утверждению-истине Гёделя приходится остаться недоказуемым; вот что я хотел бы узнать так это то, ЧЕГО хватит для того, чтобы строить такие предложения? почему, скажем, у арифметики (Пресбургера) с одним сложением только этого ЧЕГО не хватает?
далее афтар также правильно отмечает, что другие подобные "предложения" суть бессмысленное сотрясение воздуха
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
24 Окт 2018 17:45 #489
...суть построения Гёделя: у него доказуемое истинно по определению, ложных доказуемых не бывает и потому утверждению-истине Гёделя приходится остаться недоказуемым; вот что я хотел бы узнать так это то, ЧЕГО хватит для того, чтобы строить такие предложения? почему, скажем, у арифметики (Пресбургера) с одним сложением только этого ЧЕГО не хватает?
далее афтар также правильно отмечает, что другие подобные "предложения" суть бессмысленное сотрясение воздуха
ПО определению - подчеркнуто мною. (Гедель - не Впитер, по определению.) только этого ЧЕГО не хватает? прошу любого желающего, с учетом метода бинарного дерева, см. например
Цели работы
Данная работа посвящена исследованию свойств теорий
Т/ = ТЬ(а;, 0,1, <, 4-, /о, /ь - • •, /«), образованных из арифметики А.Л.Семенова +, /о) добавлением функций > 0, которые в работе названы «гиперфункциями». Каждая из них получается итерацией предыдущей. В частности, показано, что такие теории при определённых условиях являются разрешимыми. Также в работе изучается сложность разрешающей процедуры для таких теорий.
Методы исследования
Работа носит теоретический характер. В пей используются методы математической логики, теории алгоритмов и теории сложности. В работе усовершенствован метод элиминации кванторов А.Л. Семёнова. Для поиска нижней границы времени работы разрешающий процедуры был разработан метод кодирования последовательности с помощью бинарного дерева.
разработать МЕТОД УНАРНОГО "дерева", и определить (не по определению),
в пределах вселенсконатурального (бкз бксконечностей),
чего не хватает и
что лишнее?
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
25 Окт 2018 05:36 #490
Хайдук wrote:
тот горе-математик Sirion в комментах брешет, никакая это не муйня, а улавливает суть построения Гёделя: у него доказуемое истинно по определению, ложных доказуемых не бывает и потому утверждению-истине Гёделя приходится остаться недоказуемым;
Для меня это все-таки выглядит сложнее...
Смысл в том, что существуют формальные соотношения, для которых не существует цепи преобразований, позволяющих из какого-либо доказанного соотношения получить данное.
И нельзя доказать, что ее нет.
Как в вышеприведенном примере - брага... водка.
Понятно, что для конечных словарей задача решается методом перебора. А вот для бесконечных...
Приведённый набросок доказательства относился к формальной арифметике, но нетрудно понять, что ТГН применима и к многим другим языкам высказываний. Разумеется, не всякие языки таковы. Например, определим язык следующим образом:
«Любая фраза китайского языка является верным высказыванием, если она содержится в цитатнике товарища Мао Дзе Дуна, и неверна, если не содержится».
Тогда соответствующий полный и непротиворечивый доказывающий алгоритм (его можно назвать «догматической дедуктикой») выглядит примерно так:
«Листай цитатник товарища Мао Дзе Дуна, пока не найдёшь искомое высказывание. Если оно найдено, то оно верно, а если цитатник закончился, а высказывание не найдено, то оно неверно».
Здесь нас спасает то, что любой цитатник, очевидно, конечен, поэтому процесс «доказывания» неминуемо закончится. Таким образом, к языку догматических высказываний ТГН неприменима. Но мы ведь говорили о сложных языках, правда?
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
25 Окт 2018 12:08 #491
Vladimirovich wrote:
существуют формальные соотношения, для которых не существует цепи преобразований, позволяющих из какого-либо доказанного соотношения получить данное.
И нельзя доказать, что ее нет.
доказать-то как раз можно: формальное соотношение Гёделя построено безупречно согласно всем прАвилам, притом построено нарочито таким, чтобы не было цепей преобразований к нему ведущих, что само оно и утверждает
много примеров уже нарыли предложений, что доказуемо недоказуемы (из некоторых аксиом)
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
25 Окт 2018 12:33 #492
Хайдук wrote:
доказать-то как раз можно: формальное соотношение Гёделя построено безупречно согласно всем прАвилам, притом построено нарочито таким, чтобы не было цепей преобразований к нему ведущих, что само оно и утверждает
А вот это и вопрос, насколько корректно строить соотношения, которые содержат правила о своей выводимости
Именно выводимость и должна доказываться
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
25 Окт 2018 21:04 #493
соотношение Гёделя построено по тем же строгим формальным правилам, что и все остальные правильные/"истинные" соотношения, но в отличие от них его (доказуемо!) нельзя вывезти из аксиом, в чем и состоит его легко узнаваемый мета-смысл в Гёделевских кодировании и интерпретации
Vladimirovich wrote:
Именно выводимость и должна доказываться
это в некотором смысле легче, поскольку хватит (но не обязательно!) построить явную/конечную цепь преобразований к выводимому, сложнее доказать НЕвыводимость и благо её доказывают
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
26 Окт 2018 20:30 #494
Гёделево предложение невыводимо по построению, оно состряпано с учётом реализовать его смысл, чем и доказана его невыводимость/недоказуемость ; стало быть, от смысла формализьму не увильнуть
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
28 Окт 2018 21:08 #495
Хайдук wrote:
Гёделево предложение невыводимо по построению, оно состряпано с учётом реализовать его смысл, чем и доказана его невыводимость/недоказуемость ; стало быть, от смысла формализьму не увильнуть
А с учетом того что в ЛЮБОМ конкретном случае в жизни есть начальник (группы, региона, Вселенной) и, например, на КФ
Понятно, что для конечных словарей задача решается методом перебора. А вот для бесконечных...
,
то будет точным и такое уточнение:
1.от смысла формализьму не увильнуть, А
2. формальность смысла имеет место быть тоже, НУ И
3. кнс= каждый назовет своё, даже по сабж.
З павагай да неабыякавых
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Окт 2018 07:08 #496
Хайдук wrote:
Гёделево предложение невыводимо по построению, оно состряпано с учётом реализовать его смысл, чем и доказана его невыводимость/недоказуемость ; стало быть, от смысла формализьму не увильнуть
Вы это так говорите, ув.Хайдук. как будто читаете скрижаль Моисея
Почему смысл? Откуда смысл?
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Окт 2018 10:17 #497
Vladimirovich wrote:
Хайдук wrote:
Гёделево предложение невыводимо по построению, оно состряпано с учётом реализовать его смысл, чем и доказана его невыводимость/недоказуемость ; стало быть, от смысла формализьму не увильнуть
Вы это так говорите, ув.Хайдук. как будто читаете скрижаль Моисея
Почему смысл? Откуда смысл?
Так известно же, с доквантофорумного времени:
смысл
всего всегда везде
в смысле КрКр, т.е.
Warning: Spoiler![ Click to expand ][ Click to hide ]
только в том, что мы сами ему и придаем. Вспомнил, как упоминалось однажды, что любой периодический процесс пригоден для передачи информации. З павагай да неабыякавых
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Окт 2018 12:09 #498
Vladimirovich wrote:
Почему смысл? Откуда смысл?
смысл в том, что предложение Гёделя утверждает свою собственную недоказуемость, это его единственный смысл и смысл этот направляет его доказуемое формальное построение, чем и получается доказанной его недоказуемость
вот, кстати, мнение одного из немногих знатоков на habr-e о том ЧЕГО хватит, дабы теория прослыла неполной:
Теория должна описывать натуральные числа, сложение и умножение (естественным образом). Тогда применима теорема Геделя. Причина в том, что на натуральных числах со сложением и умножением можно эмулировать работу машин Тьюринга, т. е. записывать алгоритмы. Если выбросить из арифметики Пеано умножение, например, то она может быть станет полной и непротиворечивой (а может и нет, но похожую полную непротиворечивую точно можно придумать).
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Окт 2018 12:34 #499
Хайдук wrote:
смысл в том, что предложение Гёделя утверждает свою собственную недоказуемость
Недоказуемость может быть определена строго формально. Указанный набор схем не позволяет преобразовать НИ одно из уже доказанных знакосочетаний в указанное
Проблема логическая в том, что если мы будем априори утверждать свою собственную недоказуемость, то это выходит некий логический парадокс, если мы не собираемся доказывать нечто от противного
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
29 Окт 2018 16:14 #500
Vladimirovich wrote:
Недоказуемость может быть определена строго формально. Указанный набор схем не позволяет преобразовать НИ одно из уже доказанных знакосочетаний в указанное.
безусловно, и способ построения Гёделева предложения это доказывает
Vladimirovich wrote:
Проблема логическая в том, что если мы будем априори утверждать свою собственную недоказуемость, то это выходит некий логический парадокс, если мы не собираемся доказывать нечто от противного
парадокса как-то не вижу , наверно Гёдель усилиями пришёл (что равно доказательству невыводимости) к своему предложению, а НЕ с самого начала априори объявил его
тут важно будет добавить, что у предложения Гёделя "я недоказуемо" два (!) смысла: мета-смысл 1. тот, что само оно НЕ доказуемо/выводимо, и чисто арифметический смысл (!) 2. тривиально и очевидно верное типа 2+2=4 арифметическое предложение, хоть и длинное, запутанное и как-то искусственное и неинтересное
как раз последнее и поражает воображение: с лёгкой руки Гёделя мы можем производить бесчисленно много (не уверен счётно или несчётно много) тривиальных, но тем не менее недоказуемых арифметических фактов, а вот на подобные (то бишь верные, но недоказуемые) НЕтривиальные и реально интересные утверждения как теоремы Рамсея, Гудстейна и многие другие почему-то указать ... нельзя-с ; в этом порядке нельзя исключить (хоть вряд ли), что недоказуемыми (хотя бы в Пеано) могут оказаться любые нерешенные пока проблемы как таковые Римана, простых-близняшек и пр.
В океане Дедукции находится логический остров Если. Рождённые здесь люди принадлежат к одному из двух племён – алетейцам или псевдианцам. Единственный способ отличить их друг от друга – поговорить с ними. Алетейцы всегда говорят правду. Псевдианцы всегда лгут.
В центре острова глава алетейцев хранит Дневник идентичности – в этой книге перечислены имена всех рождённых на острове и их принадлежность к тому или иному племени. Ошибок в Дневнике нет, и его может посмотреть кто угодно.
Однажды на остров Если прибыл бесстрашный искатель приключений. Он встречался с обитателями острова и делил их на алетейцев и псевдианцев путём ловкой постановки вопросов.
После нескольких успешных встреч он познакомился с человеком по имени Курт. Исследователь ещё не знал его принадлежности, но прежде чем он успел задать вопрос, Курт опередил его утверждением: «У вас никогда не будет неопровержимых доказательств того, что я алетеец».
1. Принадлежит ли Курт к алетейцам, к псевдианцам, или ни к одному из племён?
2. Как эта задача связана с теоремой о неполноте?
.....
Warning: Spoiler![ Click to expand ][ Click to hide ]
Мир математики похож на остров Если без Дневника. У математики нет прямого доступа к истине, из-за чего и появляются правдивые утверждения, не имеющие доказательства.
Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
26 Нояб 2022 08:57 #504
У математики нет прямого доступа к истине, из-за чего и появляются правдивые утверждения, не имеющие доказательства.
утверждения не "правдивые", а логически независимые, потому и недоказуемые; а вот почему некоторые кажутся правдивыми (а их отрицания неправдивыми, как у аксиомы выбора) это остаётся не ясно
; любое понятие/идея, любое суждение будет конечной дискретной сущностью/объектом, даже представление о квантовом запутывании ЗА пределами (!) мира эмпирического опыта будет лишь конечным дискретным элементом в порядке потуг на (логические, вестимо, других не бывает) рассуждения 
Вспомнил, как упоминалось однажды, что любой периодический процесс пригоден для передачи информации. З павагай да неабыякавых
