Alexander написал(а):Нет, потому что там ложность заменяется на недоказуемость.

да, в доказательстве Теоремы Гёделя строится, grosso modo, такое высказывание: я - недоказуемо. Но почему парадокс лжеца - пустословие? Такая конструкция (утверждение, которое не может быть ни истинным, ни ложным), много где используется; например, парадокс Рассела в теории множеств очень похож на парадокс лжеца...

Отредактировано Serge_P (2010-05-04 00:18:31)

Serge_P написал(а):Если не ошибаюсь, парадокс Рассела касался множеств, являющихся элементами самих себя. Полагаю, что таких множеств фактически не бывает или их задание/определение (обычно чисто синтаксическим путём, при помощи словесной эквилибристики) довольно искусственно и неинтересно.

Потому и т.н. парадокс лжеца представляется мне чисто синтаксической/словесной конструкцией без смысла. О чем лжёт предложение Я - ложно? Да ни о чем, имеем набор букв без смысла. Неясно в каком смысле это предложение может лгать о себе? То, что Я - ложно есть набор букв и чёрточки не вызывает сомнения в своём существовании, однако такое существование не имеет ничего общего с такими понятиями, как лажа или истина

он касался множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента

Ну, все-таки, гёделевское утверждение, которое строится в доказательстве Теоремы Гёделя, тоже само по себе интереса не представляет (в смысле, на практике такие не встречаются). Однако же, вряд ли кто-то будет отрицать, что эта теорема весьма важна.

Отредактировано Serge_P (2010-05-04 15:55:05)

Serge_P написал(а):По мне, свойство множетсв содержать якобы себя или нет в качестве элемента не выглядит очень интересным, а скорее надуманным

Serge_P написал(а):Тут важно, однако, что совершенно простые и бесспорные (типа 2 + 2 = 4) арифметические факты оказываются за пределами аксиоматики . Значит могут быть и другие, нетривиальные факты, которые тоже недоказуемы в пределах текущей аксиоматики. Такие факты на самом деле были обнаружены, в частности диофантовые уравнения с недоказуемым отсутстствием решения, если не ошибаюсь. Преимущество арифметических/счётных предложений состоит в том, что статус их истинности/ложности дан нашим мозгам как-бы единственным и бесспорным образом, в то время как парадокс Рассела или несчётная континуум-гипотеза не обладают такими непосредственной убедительностью и значимостью. Потому никому не приходит в голову присобачить как аксиомы очевидно ошибочные анти-Гёделевые предложения типа 2 + 2 = 5, несмотря на их одинаковую непротиворечивость и недоказуемость по примеру самих Гёделевых предложений

Хайдук написал(а):Ну, все-таки, то что множества могут быть элементами множеств - это вполне естественно (power set там и все такое). А раз так, то, по-моему, вполне естественно и предположить, что множество может содержать и само себя в качестве элемента (математики - они ж как дети, любят выходить на границу разрешенного ). Вот парадокс Рассела и показал, что наивная теория множеств недостаточна (если обнаружился один парадокс, то почему не быть и другим? как и в теореме Гёделя: если построили одно недоказуемое высказывание, пусть даже и неестественное, то почему бы и другим не найтись?..), и надо строить аксиоматическую теорию множеств.


Хайдук написал(а):Хайдук написал(а):то есть как так? 2+2=5 нельзя присобачить как аксиому, она ж остальным противоречить будет... А 2+2=4 и нечего в аксиоматике делать, это теорема а не аксиома

Вот еще забавный парадокс. Рассмотрим такое утверждение: количество слов в данном утверждении равно восьми. Оно, разумеется, ложно. Рассмотрим теперь его отрицание: количество слов в данном утверждении не равно восьми. Это отрицание тоже ложно! Как такое получилось?

Отредактировано Serge_P (2010-05-05 03:24:31)

Serge_P написал(а):
Я думаю, что этот парадокс того же порядка, что и лжеца. Количество слов не имеет никакого отношения, совершенно случайно или произвольно к смыслу этих слов, потому и получаем подобные парадоксы, которые скорее курьёзные, нежели значительные

Serge_P написал(а):Множества из множеств это вполне фундаментально и существенно, конечно. А вот натуральный пример множества, содержащего самое себя, в голову не приходит; если задуматься, то такое множество оказывается таким же противоречивым, как и множество Кантора всех множеств . Исключить такие противоречивые множества не представляло особого труда при помощи аксиоматизации первоначальной наивной теории множеств Кантора.

Serge_P написал(а):Отличие парадокса Рассела от неестественных предложений Гёделя состоит в том, что первый легко улетучивается ввиду своей вычурности и противоречивости, в то время как от вторых отделаться никак нельзя, так как представляют собой вполне тривиальные, очевидные, хоть и совершенно пустяковые и непримечательные арифметические факты. Если принимаем арифметику, не принять таких попросту нельзя. Тем не менее Гёдель доказал, что доказать их из текущих аксиом арифметики все равно не удаётся . Значит приходится их прибавлять/присобачивать как дополнительные аксиомы арифметики. И вот тут наталкиваемся на каверзное обстоятельство: а почему не присобачить отрицание Гёделева предложения, ведь в логическом смысле оно ничуть не хуже в смысле независимости и непротиворечивости по отношению к текущим аксиомам арифметики! Однако присобачить как новую аксиому анти-Гёделя значит ввести интуитивно очевидно неверную аксиому, вроде как 2+2=5. Называют такие модели, если не ошибаюсь, нестандартными моделями арифметики (Torkel Franzn), но я сомневаюсь, что кто-либо вообще занимался ими всерьёз - должны быть очень вычурными, неинтуитивными и бесполезными, конечно, по причине своей очевидной ... ложности

Отредактировано Хайдук (2010-05-24 03:23:23)

Хайдук написал(а):Зря Вы так думаете. Парадокс лжеца - вещь очень серьёзная, нетривиальное знание о наших инструментах познания и описания мира - языке и логике, в то время как пример Сергея - чистое мошенничесто.
Или, если угодно, небольшой кусочек знания о русском языке - что не всегда можно получить отрицание утверждения, вставив не там, где оно обычно ставится для получения отрицания. Т е ещё один случай исключения из правил, которых(исключений) в любом естественном языке полно.

Serge_P написал(а):Мне больше нравится портрет изобретателя телеги.

Grigoriy написал(а):+1

Правильное отрицание будет примерно такое: количество слов в предыдущем утверждении не равно восьми.

А что такое портрет изобретателя телеги?

Хайдук написал(а):скажем, фрактал Мандельброта? В некотором смысле...

Хайдук написал(а):Так я и говорю, уже то, что парадокс Рассела показал необходимость такой аксиоматизации - весьма важно и полезно.

Serge_P написал(а):Этот пример приводит Чёрч.
Я видел портрет некоего человека. Некий человек изобрёл телегу Вывод: Я видел портрет избретателя телеги.
На самом деле это очень частая схема, весьма употребительная в расуждениях людей, плохо владеющих логикой. Да и у хорошо владеющих нередка

Serge_P написал(а):В некотором, но всё-же не в том самом...

По мне, парадоксы Рассела, Кантора, Бурали-Форти, Берри и др. никчемные, не глубокие, не существенные, потому и легко от них избавились. На самом деле значение аксиоматизации теории множеств состоит в том, что удалось определить статус таких фундаментальных предложений (среди других) как аксиомы выбора и гипотезы континуума. Введение аксиом все бОльших мощностей (кардиналов) тоже было бы немыслимо без точной аксиоматизации - последняя по существу определят само содержание теории множеств.

Grigoriy написал(а):

Serge_P написал(а):Корни парадокса, разумеется, следует искать в саморефлексивности синтаксической структуры (предложения из слов) количество слов в данном утверждении не равно восьми. Знаки (слова, предложения) предназначены обозначать не сами себя (что бессмысленно), а что-то другое. Нужно четко разграничивать разные языковые уровни синтаксиса и его смысла/содержания/семантики. Для изучения самого синтаксиса как содержание/семантику может понадобиться другой (мета)синтаксис и т.д. Нечёткое и бесконтрольное смешение таких уровней, примером чему являются парадокс лжеца и другие подобные, не представляется плодотворным и/или существенным

Отредактировано Хайдук (2010-05-05 18:51:11)

Хайдук написал(а):Ну, если очень надо, то можно и в том самом Введем там какое-нибудь хитрое отношение эквивалентности, и т.д.

Хайдук написал(а):Легко избавились? Никчемные, неглубокие, несущественные? Имхо, Вы несколько преувеличиваете. Вот умный человек Фреге написал гроссбух, и таки не заметил некоторых неглубоких и несущественных вещей

Хайдук написал(а):да ладно, как сказал ув. Григорий, это просто мелкое мошенничество с русским языком

Хайдук написал(а):а это уже, кстати, похоже на теорию типов того же Рассела. Но (насколько я помню то, что нам говорил проф. Артемов на одной из лекций) развивать эту теорию никому особо не охота, слижком уж громоздко там все получается. Кроме того, можно же себе представить ситуацию, когда утверждение 1 говорит что-либо об утверждении 2, а утверждение 2 говорит что-либо об утверждении 1. Как тут ввести разные уровни и их иерархию?

Serge_P написал(а):Я думаю, что про значимость парадоксов или противоречий, найденых у Фреге, можно судить по тому, что от них осталось. Можно, конечно, сказать, что их устранили аксиоматикой и потому ничего не осталось . Не думаю также, что кто-либо жалеет о них в смысле, что ничего существенного не было потеряно устранением парадоксов типа множества всех множеств, себя (не) содержащих и т.д.

Serge_P написал(а):Ну да, потому и подобная проблематика представляется не очень перспективной

кстати, Хайдук, еще про парадокс лжеца. Посмотрите на доказательство теоремы Кантора о том, что мощность множества всех подмножеств данного множества строго больше мощности данного множества (например, здесь: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE...82%D0%BE%D1%80%D0%B0). Похоже, не правда ли?..

Правда, однако... Сказать Я лжец некому - рыцарь такого не скажет, а плут обязан сказать Я не лжец

Верно то, что я ничего не могу доказать и потому все, что начинается с ты можешь доказать... может быть высказано только плутом. Рыцарь вполне мог ляпнуть и ты не можешь доказать, что я - плут

Любопытная статья в сегодняшнем арХиве: arxiv.org/abs/1103.3494 , возможно, будет интересно топиккастеру. В частности, упоминается Chaitin

Serge_P написал(а):Мысль интересная

Не смог понять однозначно резюме статьи , видимо нужно углубиццо в саму статью и разобраться в определениях countably many definable properties, almost surely (за исключением множества меры 0 ?), (un)definable sets (как такие собачутся с definable properties?)

Я, пожалуй, сейчас распечатаю эту статью, и постараюсь там что-нибудь понять. Забавно там в конце статьи, кстати, про два утверждения Тарского: автор говорит, что если бы это написал не Тарский, то мы бы подумали, что это ерунда.

Хайдук написал(а):Да, almost surely = за исключением множества (события) меры 0

Serge_P написал(а):И нам, чайникам, на пальцах объяснить. Можно с использованием комплексных и гиперкомплексных пальцев.

Объясню с использованием немного разного пальца :

Заметка Питера Дойля не претендует на многое. Резюме даже мутнее, чем дальнейшее. По мне хорошее определение случайной последовательности (0-ей и 1-иц) дать трудно в смысле, что многие такие последовательности могли бы получиться (с приличной вероятностью) в результате бросания честной (симметричной, fair) копеечки. Безусловно можно оценить насколько, с какой вероятностью, некоторая последовательность соответствует некоторому наперёд заданному/предполагаемому вероятностному распределению/мере. Десятичное развитие чисел е и справа от запятой не хуже, по-видимому, любого случайного, хотя вполне предопределено, конечно.

Думаю, что бессмысленно искать настоящих случайных последовательностей (цифр). По мне, смысл понятия вероятности заключается совсем в другом: это мера на множествах всяких статистических событий. Бывают или не однозначные причины у этих событий совершенно безразлично

Отредактировано Хайдук (2011-03-20 00:55:04)

В целом, grosso modo, согласен с тем, что написал ув. Хайдук. Добавлю еще что, с позиций современной теории вероятностей (построенной на аксиоматике Колмогорова) вопрос является ли данная бесконечная последовательность случайной - не имеет смысла.

Вообще, в отличие от вопроса насколько данная конечная последовательность похожа на случайную (который имеет огромное практическое значение и про который написаны толстые книги), аналогичный вопрос о бесконечной последовательности имеет, скорее, философский интерес (ну значит, ежели делать нечего, то можно и его обсудить ). В принципе, определение случайной бесконечной последовательности (стр. 2, Definition 1) мне нравится. Но это определение уже подогнано под наше представление о случайности: фиксированная последовательность неслучайна, если она обладает каким-нибудь свойством, которое для настоящей случайной последовательности (т.е., для того объекта, который определяется в современной теории вероятностей) выполняется с вероятностью 0. Далее, свойства мы формулируем словами и формулами, а значит интуитивно ясно, что их не более чем счетное количество. Ну и все это работает, потому что, как и полагается, объединение счетного числа множеств меры 0 имеет меру 0.

А вот дальше, имхо, там происходит следующее: автор берет интуитивно работающее определение, и формально его толкует с точки зрения каких-то очень продвинутых теорий, в которых я не разбираюсь. Натурально, получает противоречие. И, вместо того, чтобы сказать что определение надо сформулировать поаккуратнее, говорит, что случайных последовательностей может и не быть.

Хайдук, объясните пож. подробнее, что имеете ввиду под мера на множествах всяких статистических событий