LUKA написал(а):Прежде всего позволю себе выразить респект за интереснейший первый пост
Но, увы, уже в этом месте содержится неверное допущение. Логический вывод настолько же формален, как и вся математика.
Таким образом логический вывод полностью определяется исходными аксиомами и термами данной теории.
В различных математических теориях, имеющих разные наборы термов и аксиом, один и тот же логический вывод может иметь совершенно разные значения.
Самый наверно популярный пример, неоднократно тут обсуждавшийся - это геометрии Евклида и Лобачевского, содержащие в себе антагонистические формулировки одной и той же аксиомы - Пятого Постулата.

При этом с математической точки зрения обе теории непротиворечивы, и значит верны.
Если какой либо физический факт и сможет что-то тут подтвердить, то никак не исходную теорию, а мат модель куска пространства, основанную на одной из этих теорий. Вот он и будет эмпирическим фактом именно для данной модели.
Математика же от эмпиричности данного факта никак не страдает.
Мат модель есть установление гомоморфизма между мат.теорией и физическими ( биологическими и пр.) процессам. При этом логические выводы физики также имеют свои биективные отношения с теоремами мат.теории. Эмпирика может опровергнуть тот или иной физ. факт, что заставит искать новый гомоморфизм эмпирического, реального, физического процесса уже с другой мат.теорией, но опять же ничего не изменит в самой математике.
Эмпирика и математика ортогональны.

Следующее есть определение логической теории
Более того, допустимы теории, где указанные соотношения не выполняются.
Но нелогические содержательные теории мне неизвестны.

LUKA написал(а):Такое засилье может и впечатляет, но не выдерживает критики, конечно. Тот факт, что выводы вытягивают нейронные или силиконовые процессоры, не имеет отношения к логическому содержанию. Можем не доверять на 100% некоторым громоздким и необозримым выкладкам, но это не значит, что задача не имеет однозначного, подлинного решения (если не доказана неразрешимость). Во всяком случае никак не пляшет принцип anything goes, имеющий место быть для собственно экспериментальных наук как физика, химия, биология и пр. Математические структуры/модели фиксирoваны путём соглашений-аксиом между экспертами и остаются такими/неизменными во веки веков

Может наш ув. друг ЛУКА имеет в виду, что субъективно-психологически мы имеем дело со сходными феноменами, когда башка сталкивается с непонятными показаниями приборов или со сложной, запутанной и громоздкой мат. проблемой на грани талантов башки. К сожалению, наше т.н. познание безнадёжно антропоморфно-субъективно и мы никогда не узнаем как выглядит мир сам по себе, потому что не сможем отождествить себя с ним. Впрочем, это не совсем верно в следующем смысле: в конце концов непротиворечивость потуг мышления не может быть гарантирована, потому что на фундаментальном уровне Науки Логики таковой ... не бывает

Спасибо за ответы. Вообще этот форум мне понравился редкой доброжелательностью.
Vladimirovich написал(а):Верно. То есть есть в нём формальная механическая (в смысле сводящаяся к простейшим механическим манипулированием символов) составляющаяя, а есть эвристическая - поиск гипотез, отшлифовка методологии и подходов.
Vladimirovich написал(а):В общем да, хотя есть более общая формулировка, о которой можнопрочитать у Успенского в Теореме Геделя о неполноте. И хотя я здесь явно ухожу в сторону от темы, всё же позволю себе привести оттуда мысль без дословного цитирования.
Дедуктика в общем случае имеет свой алфавит и в нёё включены два алгоритма (пусть хотя бы неформальные), с помощью которых мы всегда сможем определить по тексту в данном алфавите:
1. является ли данный текст особым видом текста, который мы назовём доказательством;
2. что именно этот текст доказывает.

Эта формулировка допускает не только классический подход к понятию доказательств через правила вывода (аксиомы или аксиомные схемы - это частный случай правил вывода), но и, например, доказательством может служить простое перечисление с помощью алгоритма каких-то формул.

Это - отступление в сторону. А теперь возрващаюсь в русло обсуждений.

Vladimirovich написал(а):Логический вывод полностью определяется явно сформулированной дедуктикой. В общем, верно.
Vladimirovich написал(а):Хе-хе. А разве непротиворечивость эвклидовой геометрии удалось доказать? Её удалось СВЕСТИ к непротиворечивости арифметики, а непротиворечивость последней средствами самой арифметики (забудем про Генцена, который использовал аксиому выбора) доказать нельзя, если она непротиворечива.
Впрочем, ну даже если бы и доказали? Неужели Вы думаете на полном серьёзе, что от этого наша уверенность резко увеличилась? Да ничего подобного. Будь арифметика противоречивой, непротиворечивость её из неё вполне бы следовала, и что, нам от этого легче, доказали мы её или нет?
В любом случае, от этого наша уверенность в непротиворечивости арифметики никоим образом не приросла бы. Опять же нашим подспорьем остался опыт и только опыт, или эмпирика, или если боитесь этих слов, придумайте другие слова, заменяющие их.

LUKA написал(а):Ну выше уже приводилось определение доказательного текста, и туда простое перечисление не входит.
Так что мы позволим себе ограничиваться лишь классическим, строгим подходом.

LUKA написал(а):Думаю, нам непременно нужно строго разделить вопрос о связи математики с эмпирикой, каковая в формальной трактовке отсутствует, как мне видится, и дебри Геделя, связанные с доказательствами неполноты и непротиворечивости.
Отсутствие доказательства непротиворечивости никоим образом не влияет на первый, основной вопрос. Более того, лишь подчеркивает отсутствие эмпирической связи
Формальный подход позволяет выстроить бесконечное множество различных теорий, которые могут отличаться одной аксиомой, двумя аксиомами и т.д. И определить, какая из них эмпирически связана с этим миром, никоим образом невозможно, что и составляет главную проблему нашей кармы

Хайдук написал(а):Почему не имеет? Как ув. Хайдук Вы собираетесь определить само содержание без носителя информации? Ведь система аксиом не существует сама по себе, а значит, когда мы проводим операцию проверки утверждения на эквивалентность аксиоме, то мы проводим физический эксперимент. И тут никуда не уйти от зависимости выводов от свойств носителя. Вот заклинит Вас или комп и будет казаться абсолютно логичным вывод, что 2+2=5.

Vladimirovich написал(а):И это тоже верно, равно как и факт непротиворечивости вывода, в котором могут быть ошибки, равно как и факт непротиворечивости самой теории, неважно, математическое исчисление это или же модель электромагнитного поля.
Никой абсолютной непротиворечивости мы не можем вывести или доказать. Равно как и никакой абсолютной уверенности в правильности логического вывода (что становится очевидным, если вывод становится слишком большим).
Резюмируя, подчеркну, что сейчас мы обсуждали лишь два из нескольких ньансов - а именно, эмпирическая составляющая логического вывода и нашей уверенности в непротиворечивости исчислений.
Остались не столь затронуты, хотя и упомянуты - составляющие - возможность выдвижения гипотез, исходя из опыта, а также опытная отшлифовка и развитие методологии, что например, выражено в развитии и уточнении понятия алгоритм и опытное открытие того эмпирического факта, которое мы сейчас называем тезисом Чёрча.

Vladimirovich написал(а):Этот подход не менее строгий, хотя и более общий - см. Успенский Теорема Геделя о неполноте, стр. 9-10, а также особенно примечание на стр. 18, где хорошо подчёркивается хотя и неочевидность, но важность такого факта, когда обычное перечисление может быть дедуктикой.

Vladimirovich написал(а):Такие ли уж это дебри? Та же непротиворечивость и её доказательство были изложены по существу.
Vladimirovich написал(а):Мне видистя, что напротив, подчёркивает, поскольку уверенность в непротиворечивости основана исключительно на нашем опыте.
Vladimirovich написал(а):В старт-посте уже указывал, и с удовольствием повторю, что процесс вычисления и вывода по сути неотличим от того, что мы называем измерением - на выходе текст.
Этот простой факт в совокупности с другими двумя ключевыми признаками того, что есть эксперимент (см. внизу в старт-посте) и даёт мне основание считать, что отсутсвие эмпирики в формальной трактовке есть в мат. исчисление в той же степени, в какой она отсутствует-присутствует в физической теории.
Vladimirovich написал(а):Содержание эмпирики - это всегда текст, получаемый в результате какой-то манипауляции, которая нам всегда видится неким физическим процессм. Мир, реальность - от лукавого (не от Луки, гм.). Есть опыт, эмпирика, воспроизводимость результатов разными способами, что и даёт нам основание говорить о реальности и мире.

LUKA написал(а):Дебри, дебри Достаточно взглянуть на пример из Вики

LUKA написал(а):LUKA написал(а):LUKA написал(а):Эмпирика в данной трактовке есть лишь возможность получения ошибки в формальном процессе. Что ж, человек несовершенен
И компьютер несовершенен. Тем не менее, классические теоремы, ( не такие, как выше ) , подлежат строгой формализации, и никакое человеческое несовершенство, окромя студентов, не в состоянии фальсифицировать их выводы

Vladimirovich написал(а):Дело в том, что даже самые махровые и классические теоремы, которые подлежат строгой формализации, могут иметь столь длинное доказательство, что не только студенты, но и многомудрейшие профессионалы тоже не смогут это сделать.
Приведу один конкретный реальный уже сейчас пример. Попугаю Вас:
Самый страшный пример — это, конечно, классификация конечных простых групп. Я не буду формулировать точно, что это такое, что такое группы, что такое конечные группы, если захотите — узнаете сами. Конечные группы все в некотором смысле собираются из простых блоков, которые называются простыми группами, а те уже нельзя разобрать на более мелкие блоки. Этих конечных простых групп бесконечно много. Полный их список выглядит так: это семнадцать бесконечных серий, к которым еще в конце добавлены 26 отдельных групп, которые построены каким-то отдельным способом и ни в какую серию не входят. Утверждается, что этот список содержит все конечные простые группы. Задача страшно нужная для математики. Поэтому в 70-е годы, когда появились некоторые особенные идеи и надежды на ее решение, на задачу накинулись несколько сот математиков из разных стран, из разных институтов, каждый брался за свой кусочек. Были и, так сказать, архитекторы этого проекта, которые примерно представляли, как все это вместе потом будет собрано в единое доказательство. Понятно, что люди торопились, конкурировали. В результате, кусочки, которые они делали — это в совокупности около 10000 журнальных страниц, и это только то, что опубликовано. А есть еще и статьи, которые существовали или в виде препринтов, или в виде машинописных копий. Я сам одну такую статью читал в свое время, она так никогда и не была опубликована, хотя включает в себя заметный кусочек этого полного доказательства. И вот эти 10000 страниц разбросаны в разных журналах, написаны разными людьми, с разной степенью понятности, и обычному математику, не связанному с этим и не являющемуся одним из архитекторов этой теории, мало того что невозможно прочитать все 10000 страниц, так еще и очень трудно понять само устройство доказательства. К тому же с тех пор некоторые из этих архитекторов просто умерли.

Объявили, что классификация завершена, хоть доказательство и существует лишь в виде текста, который никто прочитать не может, и это привело к следующей неприятности. Новые математики с меньшей охотой стали идти в теорию конечных групп. Все меньше и меньше людей этим занимается. И вполне может случиться, что через 50 лет уже вообще на Земле не найдется человека, который будет способен что-то понять в этом доказательстве. Будут ходить легенды: наши великие предки умели доказывать, что все конечные простые группы перечислены вот в этом списке, и что других нет, но сейчас это знание утеряно. Вполне реалистичная ситуация. Но, к счастью, не один я считаю эту ситуацию реалистичной, поэтому с ней борются, и я слышал, что даже организовали специальный проект «Философские и математические проблемы, связанные с доказательством классификации конечных простых групп». Есть люди, которые пытаются это доказательство привести к читаемому виду, и, может быть, когда-нибудь это действительно получится. Есть люди, которые пытаются разобраться, что же делать со всеми этими трудностями. Человечество помнит об этой задаче, и, значит, оно с ней, в конце концов справится. Но тем не менее вполне может быть, что будут появляться другие такие же сложные теоремы, которые могут быть доказаны, но доказательство которых никто не способен прочитать, никто не способен никому рассказать.
elementy.ru/lib/431269 Страшно? А Вы говорите студенты.


Отредактировано LUKA (2012-05-18 10:17:07)

В пику утверждению о формализацию, которую разве студенты не поймут: Но есть области математики, в которых даже для того, чтобы почувствовать, что эта область действительно красива, и что ей хочется заниматься, нужно очень многое узнать. И при этом по дороге еще много другого красивого узнаешь. Но тебя не должны эти красоты, встреченные по дороге, отвлечь, и в конце концов ты добираешься вот туда, в самые дебри, уже там видишь красоту, и уже тогда, узнав очень многое, становишься способен заниматься этой областью математики. И вот эта трудность — проблема для таких областей. Чтобы область математики развивалась, нужно, чтобы ею занимались. Достаточному числу людей это должно быть настолько интересно, чтобы они преодолели все трудности, забрались туда и уже после этого продолжили этим заниматься. И сейчас математика доходит до такого уровня сложности, что для многих областей именно это становится основной проблемой.

Как человечество со всеми этими проблемами будет справляться — я не знаю, но посмотреть будет интересно.. Цитата оттуда же.

Наша вера в незыблемость логического вывода - это абстракция, идеализация того факта, что достаточно малые доказательства достаточно очевидны. Ну это подобно тому, как Энштейн сказал, что никогда не будет изменена термодинамика, так он в ней уверен.
Специально акцентирую внимание - наша уверенность в незыблемости чего-то может быть в любой области науки, уверенность в абсолютности пространства Ньютона, в единственности эвклидовой геометрии, в наличи траектории у всех без исключения частиц, в том, что математика рано или поздно вся может быть сведена к финитно формулируемой аксиоматике, и т.д. и т.п.

Но опыт показывает обратное.

Надеюсь, страшно напугал. Так что бутылку пива имею моральное (и быть может аморальное) право выпить.

Отредактировано LUKA (2012-05-18 10:20:08)

Vladimirovich написал(а):Да, кстати, Кантору даже безупречность формального вывода не помогла спасти его теорию множеств.
Математика - наука точная:
- Поручик, вы трус и подлец! Я вызываю Вас на дуэль!
- А я не приду!
- Почему?
- Потому что я трус и подлец!

Отредактировано LUKA (2012-05-18 11:01:15)

Просто надо ориентироваться не на ленивых студентов, а на трудолюбивых аспирантов. Те уж точно для начала соберут 10000 страниц. Ну и так далее по индукции. В конце концов преподы будут жаловаться на легкость экзаменационного вопроса
В.И. Арнольд подчеркивал важность проблемы о недостатках преподавания математики во французских школах, основанного на аксиоматическом методе:

Арнольд написал(а):Отредактировано Alexander (2012-05-18 12:35:19)

Я думаю, что тут путаем немного разных смыслов опыта или эмпирики.

Непротиворечивость по Гёделю обладает вполне точным и далеко НЕ абсолютным смыслом. Именно эту непротиворечивость заведомо доказали для некоторых элементарных теорий как Булевой логики, Евклидовой геометрии (Гильберт), арифметики со сложением и т.д. В конце концов, вслед за Гегелем, непротиворечивости попросту ... не бывает

Ясно, что уверенности на 100% в безошибочности математических выкладок (в особенности громоздких и запутанных) не может быть и рассчитываем, по большому счёту, на согласованность с другими результатами и проверку временем. По мне, однако, это НЕ эмпирика в смысле физики, химии, биологии. 2+2 будет =4 во веки веков и как раз в этом состоит отличительная особенность математики. Модель арифметики останется навсегда, даже если физический опыт с экспериментом убедят нас, что модель эта НЕ описывает даже мало-мальски того, что называем материальным миром. Математические модели/структуры/конструкции сами по себе уже обладают некоторой внутренней самосогласованностью как результат их волевого/произвольного/аксиоматического определения. История или опыт, по ЛУКЕ, манипулирования ими придали нам уверенность в их добротности и НИЧТО не в силах будет изменить их статус в обозримом или даже отдалённом будущем. Никакие компьютерные представления и громоздкие вычислительные эксперименты НЕ могут повлиять на их концептуальный смысл, заданный раз и навсегда аксиоматической дефиницией.

Как известно, подобную позицию называют платонизмом с его идеальным и вечным характером математических объектов

LUKA написал(а):В общем опять ув. Хайдук все уже сказал

Хайдук написал(а):Трудности с махровыми теоремами не должны нами приниматься как аргумент в пользу эмпиризма.
Во первых, есть теоремы и немахровые, где мы вполне можем сказать, что они с эмпирикой не связаны, ибо даже и человеческий фактор отсутствует. Таким образом мы уже не можем сказать, что вся математика наука эмпирическая.
Во-вторых, в математике есть множество областей, которые действительно имеют эмпирическую основу, например теория вероятностей, случайных процессов и вообще мат.статистика. Или например чисто вычислительные методы типа конечных элементов. И данный факт значительно более сильный аргумент в пользу эмпиризма, чем наличие неких махровых теорем с тонной листов доказательства типа теоремы Ферма и иже. Тем не менее и он не годится, поскольку также имеет локальный характер.
В целом же мы должны уверенно сказать, что в основе своей, построенной на чистой метаматематике, сама математика свободна от всякого эмпиризма. Имеются локальные случаи, где строгий аксиоматический метод приводит к крайне громоздким конструкциям, находящихся за пределами человеческой мудрости Но это неважно.
Если мы не можем выпить очередной стакан, это не значит, что он содержит уже что-то другое

Vladimirovich написал(а):

Vladimirovich написал(а):Порою может и содержит, но ... цветов с конфетами НЕ пьём, sorry

LUKA написал(а):Мы еще раз должны принципиально разделить математику и естественные науки.

Ибо формализм физики и др. глубоко вторичен по отношению к математике. Как уже говорилось, он построен на некоем гомоморфизме между мат.теорией J и описанием физических процессов, который называется мат.моделью.

Если мы получаем противоречие в модели или экспериментальных, эмпирических данных, то это не означает неправильности данного физического построения. Это может быть просто неправильно выбранная мат.теория J.
Напротив, противоречие в мат.теории уничтожает ее полностью.

С другой стороны, может существовать бесконечное множество мат. теорий, строго противоречащих друг другу.
И финитно формулируемой аксиоматики не существует.
Эмпирические же науки претендуют на исключительность и единственность описания реальности.

Поэтому незыблемость в математике и физике имеют абсолютно различную природу.

Здорово, когда есть возможность обдумывать каждый ход.
Хайдук написал(а):Эта мысль должна была неизбежно возникнуть при дискутировании. Именно поэтому в старт-посте внизу я, не претендуя на полноту описания, и обрисовал, что я понимаю под этим, пригласив всех желающих к уточнению моделирования и уточнения этого процесса (ни в коем случае не схоластического точного определения, что мало бы дало для обсуждения).
Хайдук написал(а):Я хоть и биологи, но матчасть (простите, матлогику) учил. Очень кратко и без жонглирования умными словами, остальное у Чёрча.
Исчисление непротиворечиво, если:
1. не каждая его формула доказуема
2. не доказуема формула и какая-то фиксированная его функциональная произоводная - например, её отрицание
3. теоремой не является пропозициональная переменная
4. ложная или не общезначимая формула не должна быть теоремой

Это навскидку и по памяти - разные определения у Чёрча.

Не удержусь - полнота тоже бывает разной.
Если добавление новой нетеоремы делает её непротиворечивой в одном первых трёх смыслов. В этом смысле логика первого порядка (а не только второго) является НЕПОЛНОЙ (клянусь, так и есть!)
А вот если каждая общезначимая формула является теоремой - это другой вид полноты, той самой Геделевской. (А если не является - то неполноты).
Правда бывает ещё синтаксическая неполонота, если дедуктика непополнима, но это уже дебри для непосвящённых и тема в ветке про математику.
Это я себе.



Хайдук написал(а):Что ж, попробую Вас понять. И возможно поменять своё мнение.
Есть эмпирика вообще. На ней держится и математика в том числе. Но есть эмпирика особая, скажем в естественно-научном смысле.

Хайдук написал(а):Хотелось бы верить в этом, но вряд ли это - отличительная особенность всей математики, поскольку в канторовскую теорию множеств тоже верили (раз такая красивая оказалась).
А в физике есть тоже незыблемые (так многим очень умным людям кажется, и Энштейн из их числа - он перед термодинамикой благоговел) разделы.

Хайдук написал(а):Воистину так, далеко ходить не будем, возьмём шахматы.
При этом ВСЕ ОНИ, будучи символическими конструкциями УЖЕ моделируют символический физический мир.
Помните мой пример с горошинами? Гипотезу Гольдбаха, проблему 3N+1 и много других гипотез можно сформулировать как гипотезы о физическом мире.
А классы выводимых формул - как классы получения физических объектов, с помощью заданных правил. В этом смысле физические шахматы, равно как и кубик Рубика ограничены ФИЗИЧЕСКИМИ процессами (будь то воля человека, или физические ограничители в кубике Рубика или пятнашках, или в компьютерах).

Хайдук написал(а):Между прочим - это - только один ньюанс, и он далеко не исчерпывает всё математику. Многие вещи, связанные с методологией именно открываются, как это не странно звучит. Борель надолго опередил Чёрча и Тьюринга, хотя по видимому и сам недооценил значение того, что потом назвали алгоритмом.
А аксиому выбора полюбили не за то, что она наконец-то была поймана дефиницией, а потому, что она оказалась практически эффективной в анализе и топологии (хотя бы исторически так её полюбили).
Хайдук написал(а):Платонистами бывают или начинают многие математики, хотя бы стихийными платонистами - ведь математика для них, словами Александрова - сад, где за ближайшими деревьями не видно всей красоты.
Однако потом, многие (в том числе и я) становятся теми, кого некоторые философы называют конструктивными эмпириками (можно в инете посмотреть),

Vladimirovich написал(а):Его ПОЧТИ нет. Существует, однако, пусть очень малая, но отличная от нуля возможность пересмотра и наглядных вещей. ПОЛНОЕ отсутствие - это наша абстрагирование.
Vladimirovich написал(а):Как указывал выше - ЛЮБАЯ символическая конструкция может рассматриваться как физических объект (поскольку носители у них физические) - как неизбежность - наша голова теряет монополию на манипулирование ими - и позволительно компьютеру, абаку или кубику Рубика также участвовать в этом процессе.

Vladimirovich написал(а):Это конечно так, но речь шла не о той применимости в ОСТАЛЬНОЙ физике, о которой обычно говорят - анализ, линейная алгебра и т.д. В этом случае конечно, в случае адекватного моделирования физические эксперименты нам могут помочь и в математике. Одни структуры станут моделями для других - и мы не сможем предсказать какие. Однако, как писал выше, символическая манипуляция навсегда останется привязанной к физическим процессам - не обязательно процессам макрофизики (где символы - это макрообъекты), но и микрофизике, где символами уже могут быть СОСТОЯНИЯ, и не только ячеек в памяти компьютера, но и коэффициенты в разложении квантового состояния - квантовые вычисления, а быть может в будущем, кто знает, символы могут описывать обязательно и другие неведомые нам физические явления.
Символическая природа цементирует нас с физикой и эмпирикой. Конечно, при этом, как это красиво описано у Манина - одной и той же символической конструкции можно дать множество интерпретаций (моделей). И поворот в псевдоевклидовом пространстве будет интерпретироваться как смена систем отсчёта. Но физическая интерпретация символов останется навсегда - и тогда уже сама игра символами по разным правилам - и есть наш опыт. Хотя конечно можно гордо отвернуться и сказать (это -неправильные пчёлы ). Но при этом гипотезы останутся гипотезы, и их тоже можно будет опровергнуть, если повезёт в эксперименте. И конечно интересной и слабо разобранной является то, что у Пойа называется физической математикой, где не только символическими манипуляциями, но и другими видами физических процессов, выясняется математическая истина.

Vladimirovich написал(а):Вы знаете, кот товарища Шредингера может и не согласиться. Он до сих пор помнит тот кошмар, когда Шредингер бегал за ним с тапком и так напугал его, что он был НИ ЖИВ, НИ МЁРТВ - а от страха или в силу квантовых причин - спросите у него.

Отредактировано LUKA (2012-05-19 10:35:52)

Смотрю на игру шахматистов. И клянусь - вижу такой физический процесс, когда некие пусть неизвестные мне законы физики предпределяют такие движения шахматных фигур, которые заставляют их ходить по определённым правилам.
Физика сошла с ума - символические манипуляции, выдуманные человеком - реальные физические процессы.

Отредактировано LUKA (2012-05-19 10:42:20)

Теперь, когда узнал бОльше о конструктивном эмпиризме, я в некотором смысле разочарован. Физическая форма шахмат, фигур с доской и т.д. совершенно безразличны к формальным/абстрактным природе и сущности игры. Как раз поэтому компы могут играть в шахматы - представление шахмат в компе не имеет ничего общего с деревянными фигурами и доской. То же самое относится к символическим манипуляциям графических знаков из чернила или пикселей на экране компа. Важна различимость знаков одного от другого, а их физическая реализация совершенно безразлична к их знаковой функции. Ещё важнее смысл за знаком. Не вижу ничего плодотворного в подобном физическом или конструктивном эмпиризме. Судьба логического позитивизма достаточна показательна для любого вида эмпиризма. Никак не стоит сводить математику к манипулированию материальных предметов, такое безуспешно пытались сделать советские конструктивисты из школы Маркова и т.д. Дела обстоят как раз наоборот: при близком и строгом рассмотрении материальный эмпирический мир в конце концов улетучивается, потому что оказыается сотканым из исчезающих в небытие мат. абстракций. Вслед за Гегелем с его тождеством БЫТИЯ и НИЧТО такое не должно удивлять.

Хайдук написал(а):Возможно я не столь хорошо знаю конкретики, но конструктивизм в математике - это не то же самое, что манипулирование материальными объектами. Конструктивное направление - это задание объектов алгоритмически, а не экзистенциальными утверждениями (с ограничением использования закона исключённого третьего - что для платонистов - смерти подобно). Но всё-таки к эмпирике это имеет косвенное отношение. Если чего не знаю, поправьте.

Отредактировано LUKA (2012-05-19 12:20:42)

Хайдук, физический процесс любого логического или математического вывода ограничивается записью символов на бумаге, которые потом должны всего лишь правильно истолкованы. На этом физика и эмпирика заканчивается.
Несколько иным делом мне представляется толкование реального физического мира человеком. Вполне может быть, что привычные нам понятия, такие как точка, сила и т.д. могут быть конструктивно дополнены или даже заменены некими понятиями, характерными для нейронных сетей, кои повидимому и действуют в человеческом мозгу. Но в любом случае логическая структура будет абстрактна и нефизична.

Отредактировано Alexander (2012-05-19 12:25:02)

Alexander написал(а):Лишь бы при этом не делать ошибку - молчаливо допускать, что это справедливо только для того, что называют чистой математикой. В случае остальной физики справедливость утверждения сохраняется.

Alexander написал(а):Если мы уверены в адекватности более сложной физической модели, то нет. Квантовые вычисления и разные аналоговые системы тому пример.

Отредактировано LUKA (2012-05-19 12:31:33)

LUKA написал(а):Рассматриваться конечно может. Но вот вопрос, зачем?
Можно даже трактовать подобным образом и солипсизм.

Впрочем здесь мы углубляемся в философскую сторону вопроса, которая не может быть решена адекватно, как и все в этой философии.
Математика сама ничего не знает об эмпирике, поэтому ее связь с ней логически недоказуема, если хотите даже в Геделевском смысле.
Поэтому приходится опираться на некие дополнительные аксиомы, которые эту связь определяют, и которые, как и все наше понимание, должно опираться на эту самую эмпирику, отрицая ее, или, напротив, устанавливая зависимость от физ.носителя.

Но, если логическая конструкция инвариантна к физическому носителю, необходимость внесения каких либо подобных зависимостей выглядит совершенно надуманной. Игры разума, не более.

Кстати, один из наших постоянных авторов пошел гораздо дальше в данном вопросе и отрицает всю математику как таковую.
Но это от лукавого
quantoforum.ru/physics/184-teoriya-szhatiya-vselennoj Теория сжатия Вселенной
quantoforum.ru/physics/204-fizicheskie-p...szhatiya-vselennoj-2 Физические принципы теории Сжатия Вселенной. - №2
quantoforum.ru/physics/394-teoriya-szhatiya-vselennoj-3 Теория сжатия Вселенной # 3
quantoforum.ru/physics/150-teoriya-szhat...noj-4-ne-poslednyaya Теория сжатия Вселенной #4 (не последняя)
quantoforum.ru/physics/135-teoriya-szhatiya-vselennoj-5 Теория движения и Вселенная №5

LUKA написал(а):Пожалуй да, но даже это оказалось неплодотворным ограничением и перебором. А иначе эмпиризм вообще не может быть хорошей философией или методологией, он только начало и факты всегда нуждаются в интерпретации. Без абстракций не обойтись, они являются глубокой сущностью видимой и кажущейся здоровенной как камень эмпирики.

Vladimirovich написал(а):В той же степени (и не более) как любая физическая модель. Об этом часто забывают дискутирующие. Демаркации в этом вопросе с остальной физикой пока ещё не удалось показать.
Vladimirovich написал(а):Само по себе типографское манипулирование так же безгранично, как сама арифметика, если не более.
Vladimirovich написал(а):Логическая конструкция Ньютоновской механики инвариантна к любому носителю массы или ускоритею. Любая физическая теория инвариантна к какому-то классу объектов. Символические носители здесь не исключение, а обыденность.

Хайдук написал(а):Здесь мы столкнулис с вопросом, а зачем нужно акцентирование на эмпирическом характере? Остаётся сказать - не знаю и не могу знать до конца. Пока лишь это важно в наших попытках поиска сложных и длинных доказательств, а также возможно в нашем творчестве, где очень хорошим примером служит Эйлер, который не благоговел перед дедуктикой, но редко ошибался, так как осмелился эмпирически обосновывать свои допущения.
Так что ответа три
- не знаю, мало ли что,
- не забывать про творчество
- количество переходит в качество там, где доказательства и вычисления становятся очень отчуждёненными от непосредсвтенной наглядности 2Х2=4

Ну и хотелось сказать всем тем, кто говорит, что математика не наука, а язык - да ну? А как же эмпирика и гипотезы?

(кстати дважды два четыре - этот факт справедлив для всех (гипер) арифметических операций - сложения, умножения, степени, гиперстепени, гипергиперстепени и т.д).

Отредактировано LUKA (2012-05-19 12:41:28)

LUKA написал(а):Хорошо. В физике используется математическое понятие точка. Чему она соответствует в реальном мире? Может ли что-нибудь физическое умещаться в бесконечном количестве на конечном отрезке, причем Хайдук меня тут же поправит, что еще в несчетном количестве.
Не правильно ли считать точку полезной абстракцией, точный математический смысл которой не имеет никакого аналога в физическом мире?

Хайдук написал(а):Это - неукоснителльное правило всей ФИЗИКИ.